Monotonie und Beschränktheit einer Folge Grenzwert? |
| 01.05.2013, 14:35 | lelalin-ersti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Monotonie und Beschränktheit einer Folge Grenzwert? Hallo, gibt es einen Satz der folgendes besagt: "Eine Folge die monoton wachsend und nach oben durch x beschränkt ist, konvergiert gegen x."?? Es gibt ja den Satz, dass eine streng monoton wachsende nach oben beschränkte Folge konvergiert, aber konvergiert sie auch generell gegen die obere Schranke? Meine Ideen: -- |
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| 01.05.2013, 14:53 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, nein, das gilt so nicht. (Gilt insbesondere auch nur für vollständige Räume) Beispiel: a_n = 5-1/n. Diese Folge ist nach oben durch 6 beschränkt, konvergiert aber gegen 5. Ersetze obere Schranke durch Supremum über alle Folgenglieder und die Aussage wird wahr. Der Beweis ist auch nicht schwer. Falls du es versuchen willst, verwende folgende Charakterisierung des Supremums einer Menge. Sei nach oben durch beschränkt. Dann ist genau dann Supremum von , falls gilt: Gruß, Guppi |
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| 01.05.2013, 15:53 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie definierst du denn Monotonie allgemein in vollständigen Räumen? |
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| 02.05.2013, 10:56 | lelalin-ersti | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank Guppi12, genau der Satz ist mir entfallen! |
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| 02.05.2013, 11:12 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Che, Habe mich da in der Wortwahl vergriffen, ich meinte eigentlich Räume, die vollständig sind und in denen man von Monotonie sprechen kann. Da ich nicht wusste, ob es da außer R nochwas gibt, wollte ich nicht "nur R" schreiben, weil ich in diesem Fall auch einen ähnlichen Kommentar erwartet hätte. |
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