Körper mit endlicher Menge

01.05.2013, 17:18

yakilla

Körper mit endlicher Menge

Meine Frage:
Sei K ein Körper, M eine endliche Menge mit |M| = m und V = Abb(M, K) = K^M der K-Vektorraum der Abbildungen von M in K. Zeigen Sie, dass dim V = m ist, idem Sie eine Basis für V finden.

Meine Ideen:
Mein Problem bei der Aufgabe ist, dass ich mir nichts darunter vorstellen kann, wie man K^M verstehen soll! So etwas wie R^2 ist logisch und verständlich, aber K^{endliche Menge} nicht.

Wie man eine Basis finden kann (minimales Erzeugendensystem, lineare Unabhängigkeit) ist wiederum klar, nur wie muss ich mir eine solche Abbildung vorstellen?
Wird das erste Element der Menge nach K^1, das zweite nach K^2, ... und das m-te Element nach K^m abgebildet?

Ich bin für jede Hilfe dankbar!

01.05.2013, 17:22

tmo

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RE: Körper mit endlicher Menge

Zitat:

Original von yakilla
So etwas wie R^2 ist logisch und verständlich, aber K^{endliche Menge} nicht.

Lustigerweise ist es genau dasselbe.

Eine Abbildung von M nach K können wir hinschreiben, in dem wir einfach die endlich vielen Funktionswerte $\begin{eqnarray*} x_i = f(m_i), i = 1, \dotsc, n \end{eqnarray*}$ (dabei ist n die Mächtigkeit der Menge) hinschreiben.

Schreiben wir sie nun noch übereinander und machen ne Klammer rum, steht plötzlich da:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

01.05.2013, 17:26

Leopold

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Hilft es dir, wenn man dir sagt, daß $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ letzlich nichts anderes als $\begin{eqnarray*} \operatorname{Abb} \left( \{1,2\} , \mathbb{R} \right) \end{eqnarray*}$ ist? Statt $\begin{eqnarray*} \tau(1) = 23, \tau(2) = -21 \end{eqnarray*}$ (wodurch die Abbildung $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ ja eindeutig festgelegt ist) schreibt man einfach $\begin{eqnarray*} \tau = (23,-21) \end{eqnarray*}$ und nennt das Ganze ein Tupel, hier ein Paar reeller Zahlen.

01.05.2013, 17:39

yakilla

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Ok, das hilft auf jeden Fall schon einmal!

Verstehe ich das dann richtig, dass ich letztlich eine Abbildung von (x1, x2, ... xm) nach K^m habe?
Aber auch dann ist mir noch nicht ganz klar, wie ich dazu eine Basis bestimmen soll oder was genau ich auf lineare Unabhängigkeit untersuchen kann!

01.05.2013, 18:05

Elvis

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Wenn $\begin{eqnarray*} M=\{a_1,...,a_m\} \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} Abb(M,K) \end{eqnarray*}$ die Menge aller Abbildungen $\begin{eqnarray*} f:M\to K^m, \begin{pmatrix} a_1 \\ ... \\ a_m \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} k_1 \\ ... \\ k_m \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k_1 , ... , k_m \in K \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} M=\{1,...,m\} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} K^M=K^m \end{eqnarray*}$ , eine Basis ist die Standardbasis. Genau so kannst du eine Basis für $\begin{eqnarray*} K^M , M=\{a_1,...,a_m\} \end{eqnarray*}$ konstruieren.

01.05.2013, 18:45

yakilla

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Klingt einleuchtend.
Ist es dann korrekt, wenn man als Basis folgendes hat:
B = {b1, ..., bm}
mit
b1 = (a1, 0, 0, ... )
b2 = (0, a2, 0, ... )
...
bm = (0, 0, 0... am)
?

Das würde doch eine Basis bilden, oder?

02.05.2013, 18:20

Elvis

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Nein, denn es geht um die Abbildungen von M nach K. In diesem Vektorraum liegen keine Vektoren mit Komponenten aus M.
$\begin{eqnarray*} K^m \end{eqnarray*}$ hat die Standardbasis $\begin{eqnarray*} \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ ... \\0 \\ 0 \end{pmatrix} , ... , \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ ... \\0 \\ 1 \end{pmatrix} \}=\{e_1, ..., e_m\}=\{f_1,...,f_m\} \end{eqnarray*}$
mit den m Abbildungen von M={1,...m} nach K : $\begin{eqnarray*} i=j\Rightarrow f_i(j)=1, i \ne j \Rightarrow f_i(j)=0 \end{eqnarray*}$ .

Was hindert uns daran, als Basis von $\begin{eqnarray*} K^M \end{eqnarray*}$ zu definieren $\begin{eqnarray*} \{f_1,...,f_m\}=:\{f_{a_1},...,f_{a_m}\} \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} i=j\Rightarrow f_i(a_j)=1, i \ne j \Rightarrow f_i(a_j)=0 \end{eqnarray*}$ ?

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