Wahrscheinlichkeitsmaß

01.05.2013, 15:24

nix

Wahrscheinlichkeitsmaß

Meine Frage:
Es seien P und Q zwei Wahrscheinlichkeitsmaße auf einem diskreten, messbaren Raum $\begin{eqnarray*} \left(\Omega,2^{\Omega} \right) \end{eqnarray*}$ .
Es gelte P(A)=Q(A) für alle $\begin{eqnarray*} A\in 2^{\Omega} mit P(A)\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Zeige dass dann P=Q folgt.

Meine Ideen:
Ich komme bei dieser Aufagbe gar nicht weiter. Ich habe es mit der Definiton des Wahrscheinlichkeitsmaß versucht, aber ich komme nicht weiter. Wie könnte ich rangehen?

01.05.2013, 15:45

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Hinweis
Schon mal ans Gegenereignis gedacht?

$\begin{eqnarray*} P(A) = 1-P(A^c) \end{eqnarray*}$

01.05.2013, 15:45

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

schau dir die Wahrscheinlichkeiten der Komplemente an.

01.05.2013, 18:06

nix

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok dann sieht man dass $\begin{eqnarray*} P\left(A^{C} \right)\geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und dass $\begin{eqnarray*} Q\left(A^{C} \right)\geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist.

Und woraus folgt dann P=Q?

01.05.2013, 18:27

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ok dann sieht man dass $\begin{eqnarray*} P\left(A^{C} \right)\geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und dass $\begin{eqnarray*} Q\left(A^{C} \right)\geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist.

für welche A soll das gelten?

01.05.2013, 18:35

nix

Auf diesen Beitrag antworten »

Verstehe deine Frage nicht.

01.05.2013, 18:37

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Aussage gilt definitv nicht für alle A, z.B. nicht für $\begin{eqnarray*} A=\Omega \end{eqnarray*}$ .

Daher solltest du spezifizieren für welche A deine Aussage gilt.

01.05.2013, 18:43

nix

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß ja nicht, was genau Omega und was genau das Ereignis A ist. Ich wieß dass P(Omega)=1 und P({})=0 ist. Für die anderen A müsste es doch gelten, oder?

Ich sehe null Verbindung zwischen den beiden Wahrscheinlichkeitsmaße P und Q...

01.05.2013, 18:54

watcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Wahrscheinlichkeitsmaße sind Abbildungen.
Die Frage ist, wann sind zwei Abbildungen gleich?

Zitat:

Für die anderen A müsste es doch gelten, oder?

Nein. z.B. $\begin{eqnarray*} \Omega =\{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ , Potenzmenge als Sigma-Algebra und $\begin{eqnarray*} P(A)=\frac{|A|}{n} \end{eqnarray*}$ . Schau mal A={1} oder A={2} oder... an.

Zitat:

Ich sehe null Verbindung zwischen den beiden Wahrscheinlichkeitsmaße P und Q...

In der Angabe steht doch schon was zu einer "Verbindung" von P und Q.

Zitat:

Ich weiß ja nicht, was genau Omega und was genau das Ereignis A ist.

Und das musst du auch nicht. Es ist sogar gut so. Wie sollen denn sonst allgemeingültige Aussagen zu Stande kommen?

02.05.2013, 07:11

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

@nix

Anscheinend fehlt dir vollkommen der Überblick, was eigentlich zum Nachweis von $\begin{eqnarray*} P=Q \end{eqnarray*}$ erforderlich ist:

Man muss für alle Ereignisse $\begin{eqnarray*} A\in 2^{\Omega} \end{eqnarray*}$ (oder äquivalent formuliert: $\begin{eqnarray*} A\subseteq \Omega \end{eqnarray*}$ ) die Gültigkeit von

$\begin{eqnarray*} P(A) = Q(A) \end{eqnarray*}$

nachweisen. Für diejenigen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(A)\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ist das bereits per Voraussetzung erfüllt, es verbleiben die restlichen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(A)>\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ...

Neue Frage »

Antworten »

Wahrscheinlichkeitsmaß

Verwandte Themen