Sind folgende Mengen Topologien?

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Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
Sind folgende Mengen Topologien?
Meine Frage:
Hallo smile
Ich habe folgende Menge X={a,b,c} und zwei Mengen:
T1:{ leere Menge, {a}, {b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
T2:{ leere Menge, {a},{b},{c},X}

Nun soll man entscheiden, welches eine Topologie ist und welches nicht.

Meine Ideen:
Ich glaube, dass T1 eine Topologie ist und T2 keine Topologie ist, weil beliebig viele Vereinigungen nicht unbedingt in T2 liegen. Ist das zunächst so richtig?

Jetzt muss ich aber noch beweisen, dass T1 eine Topologie ist, da habe ich zunächst, dass die leere Menge und X in T1 sind. Nun weiß ich aber nicht, wie ich zeigen soll, dass die Vereinigung beliebig vieler und der Durchschnitt endlich vieler Teilmengen von T1 in T1 liegt.

Könnte mir da jemand helfen oder einen Ansatz geben?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind folgende Mengen Topologien?
Die Vereinigung bzw. der Schnitt von Mengen aus ist ja zumindest irgendeine Teilmenge von . Und enthält glücklicherweise alle Teilmengen von .
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind folgende Mengen Topologien?
Ja, das ist mir klar, aber wie zeige ich das mathematisch? Das ist gerade mein Problem. Ich kann das ja nicht alles durchprobieren...

Und sind denn meine Überlegungen bzgl. T2 richtig?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind folgende Mengen Topologien?
Zitat:
Original von Coco19
Ich kann das ja nicht alles durchprobieren...

Was willst du denn da durchprobieren?
Wenn , dann ist auch .
Und enthält alle Teilmengen von .

Zitat:
Und sind denn meine Überlegungen bzgl. T2 richtig?

Ja.
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind folgende Mengen Topologien?
Zitat:
Original von Che Netzer
[quote]Original von Coco19
Ich kann das ja nicht alles durchprobieren...

Was willst du denn da durchprobieren?
Wenn , dann ist auch .
Und enthält alle Teilmengen von .

Ja, aber mein X enthält ja keine Teilmengen, sondern nur Elemente?!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind folgende Mengen Topologien?
Worauf willst du hinaus?
Wieso sollte es ein Problem sein, wenn keine Menge von Mengen ist?
 
 
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind folgende Mengen Topologien?
Ich kann ja keine zwei Elemente miteinander schneiden verwirrt
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind folgende Mengen Topologien?
Kann man denn jetzt irgendwie mit mathematischen Formeln beweisen, dass sowohl die Vereinigung als auch der Durchschnitt wieder in T1 liegt? Außer, dass man sagt, dass es sich um die Potenzmenge handelt und somit alles drinliegen muss?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind folgende Mengen Topologien?
Zitat:
Original von Coco19
Ich kann ja keine zwei Elemente miteinander schneiden verwirrt

Na und?

Zitat:
Original von Coco19
Kann man denn jetzt irgendwie mit mathematischen Formeln beweisen, dass sowohl die Vereinigung als auch der Durchschnitt wieder in T1 liegt? Außer, dass man sagt, dass es sich um die Potenzmenge handelt und somit alles drinliegen muss?

Zu sagen, dass eine Teilmenge von in enthalten ist, weil alle Teilmengen von enthält, ist doch bereits mathematisch genug.
Was willst du denn da mit Formeln anfangen?
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind folgende Mengen Topologien?
Ja schon , also reicht das als Beweis, dass T1 eine Topologie ist?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind folgende Mengen Topologien?
Wenn du noch etwas zu den restlichen Eigenschaften sagst und das ganze überhaupt noch sauber aufschreibst, ja.
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind folgende Mengen Topologien?
Ja, da bleibt aber doch eigentlich nur noch die Eigenschaft, dass die leere Menge und X selbst in T1 ist, oder ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind folgende Mengen Topologien?
Und Schnitte. Wir haben ja eben nur über Vereinigungen gesprochen.
Ratlos18 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind folgende Mengen Topologien?
Ja, aber für die Schnitte gilt doch das gleiche wie für die Vereinigungen, oder?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind folgende Mengen Topologien?
Genau.
Coco19 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sind folgende Mengen Topologien?
In Ordnung. Danke für die Hilfe smile
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