Metrischer Raum: Stetigkeit einer Abbildung zeigen |
| 01.05.2013, 18:13 | Ratlos18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Metrischer Raum: Stetigkeit einer Abbildung zeigen Guten Abend 
Ich sitze gerade an einer Aufgabe, bei der ich nicht wirklich weiter komme. Also sie lautet: Sei (X,d) ein metrischer Raum und sei a Element von X. Nun soll man zeigen, dass die Abbildung d(.,a):-->R(reele Zahlen), x-->d(x,a) stetig ist. Meine Ideen: Ich habe gerade überhaupt keine Idee wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Kann mir vielleicht jemand einen kleinen Denkanstoß geben? Vielen Dank schon mal im voraus
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| 01.05.2013, 18:22 | tipp0 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schreibe dir mal die Definition von Stetigkeit in diesem Fall formelmäßig auf. Es läuft auf eine Anwendung der Dreiecksungleichung in X hinaus. |
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| 01.05.2013, 18:24 | Ratlos18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das Problem ist, dass wir keine Definition von Stetigkeit aufgeschrieben haben, die sich auf metrische Räume bezieht. |
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| 01.05.2013, 18:48 | tipp0 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das bezweifle ich, sonst wäre die Aufgabe ja nicht lösbar für euch. Stetigkeit in metrischen Räumen kann jedenfalls über Epsilon-Delta-Stetigkeit, formelmäßig genauso wie in R, definiert werden. |
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| 01.05.2013, 19:08 | Ratlos18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achse, also kann ich diese verwenden? Und mein f(x)=|x-a| ? |
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| 01.05.2013, 19:13 | tipp0 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
|x-a| kannst du nicht bilden, der Betrag sowie Differenz für Elemente in X sind ja nicht definiert. Ich meinte, dass man die Definition von Stetigkeit in R übertragen kann, sofern man anstatt wie für Abstände in R |x-y| schreibt, eben d(x,y) nimmt. Also du musst zeigen, dass klein wird, wenn klein ist. Mache dir klar, dass das genau die Stetigkeit deiner Funktion bedeutet. |
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| 01.05.2013, 19:18 | Ratlos18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, ich versuche es mal, wenn ich irgendwo stecken bleibe, dann meld ich mich einfach noch einmal. 
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| 01.05.2013, 19:33 | Ratlos18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Darf ich denn d(x,a) irgendwie ersetzen? Oder muss das immer stehen bleiben? |
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| 01.05.2013, 19:42 | tipp0 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich verstehe nicht, was du meinst. Aber wie gesagt, muss man eigentlich nur die Dreiecksungleichung anwenden. |
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| 01.05.2013, 19:45 | Ratlos18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber wie kann ich die anwenden? Bei der dreiecksungleichung ist ja ein plus und hier habe ich ein Minus 
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| 01.05.2013, 19:46 | tipp0 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Man kann doch auch auf beiden Seite der DUG einen Summanden abziehen und erhält eine Ungleichung mit Minus. |
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| 01.05.2013, 19:50 | Ratlos18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das schon, aber wie kann ich das hier anwenden? |
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| 01.05.2013, 19:53 | tipp0 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Probier doch mal ein bisschen selber. Es ist wirklich nicht schwer. |
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| 01.05.2013, 19:57 | Ratlos18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, aber bei mir kommt dann so etwas unlogisches raus wie: |d(x,a)-d(y,a)l < |d(x,a)+d(y,a)| > d(x,y)
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| 01.05.2013, 20:02 | tipp0 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Setze an mit und |
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| 01.05.2013, 20:07 | Ratlos18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann kann ich die Gleichung umstellen und sehe, dass egal wie herum d(x,a) und d(y,a) stehen, es immer kleiner gleich d(x,y) ist. |
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| 01.05.2013, 20:11 | tipp0 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja. |
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| 01.05.2013, 20:14 | Ratlos18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, aber wie komme ich auf die Gleichung, weil die eigentliche DUG ist ja d(x,a)+d(y,a)>d(x,y) Und wie bringt mich das jetzt weiter? |
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| 01.05.2013, 20:20 | tipp0 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Siehe meinen dritten Beitrag. Du hast doch jetzt |
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| 01.05.2013, 20:22 | Ratlos18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und das war's jetzt? Ist der Beweis "quasi" fertig? |
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| 01.05.2013, 20:24 | tipp0 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das solltest du selber beantworten können, sofern du die Definition von Stetigkeit verstanden hast. |
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| 01.05.2013, 20:28 | Ratlos18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, eigentlich schon, da zu jedem Episilon ein Delta existiert oder? |
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| 01.05.2013, 20:31 | tipp0 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja.. |
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| 01.05.2013, 20:35 | Ratlos18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und um auf die zwei Gleichungen zu kommen, die du vorher geschrieben hast, muss ich die eigentliche DUG umformen? |
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| 01.05.2013, 20:39 | tipp0 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist doch jeweils die DUG in Reinform. Eigentlich habe ich die Aufgabe komplett für dich gelöst. |
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| 01.05.2013, 20:46 | Ratlos18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich habe in meinem Skript eine andere stehen. |
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| 01.05.2013, 21:09 | tipp0 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, du solltest den Rest jetzt einfach selber können. Ich habe schon so viel gesagt, ich bin hier jetzt jedenfalls fertig für heute. |
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| 01.05.2013, 21:17 | Ratlos18 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jaa, ich habe meinen Denkfehler gefunden 
Dankeschön für deine Hilfe
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