Funktionalgleichung in Differentialgleichung überführen

01.05.2013, 18:15

Gregorowitch

Funktionalgleichung in Differentialgleichung überführen

Guten Abend,

ich habe Schwierigkeiten bei folgender Aufgabe:
Bestimmen Sie alle differenzierbaren Funktionen $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , welche die Funktionalgleichung $\begin{eqnarray*} f(x+y)=f(x)f(y) \end{eqnarray*}$ erfüllen. Leiten Sie dann eine Differentialgleichung für f her.

Den ersten Teil der Aufgabe kann ich denk ich lösen, beim zweiten Teil hab ich leider noch Schwierigkeiten! Das es letztlich auf das AWP $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f'(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ ist mir klar, leider weiß ich nicht wie ich dort hingelange!

Vielen Dank im Voraus und einen schönen ersten Mai!
Mit freundlichem Gruß

01.05.2013, 18:59

Che Netzer

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RE: Funktionalgleichung in Differentialgleichung überführen
Betrachte mal
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h\,. \end{eqnarray*}$

01.05.2013, 19:27

Gregorowitch

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Okay danke für den Tipp, leider fallen mir die Schuppen noch nicht von den Augen.
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} f(x)\frac{f(h)-1}{h} \end{eqnarray*}$

01.05.2013, 19:42

Gregorowitch

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Oder meintest du etwas in der Art: $\begin{eqnarray*} f'(x+y)=\frac{f(x+y+h)-f(x+y)}{h}=\frac{f(x)f(y+h)-f(x)+f(y)}{h}=f(x)+f'(y)=f'(x)*f(y)\leftrightarrow f'(x)=f(x)\frac{f'(y)}{f(y)}\leftrightarrow f'(x)=c*f(x) \end{eqnarray*}$ , wobei ich beim letzten Schritt y fest wähle!?

01.05.2013, 19:48

Che Netzer

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Zitat:

Original von Gregorowitch
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0} f(x)\frac{f(h)-1}{h} \end{eqnarray*}$

Das meinte ich schon.
Jetzt kannst du $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ aus dem Grenzwert ziehen – unter der Annahme, dass $\begin{eqnarray*} f(x)\neq0 \end{eqnarray*}$ . Was muss dann gelten, damit der verbleibende Grenzwert existiert (und das tut er ja nach Voraussetzung)?

01.05.2013, 20:05

Gregorowitch

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Ich bin ehrlich gesagt überfragt, die Folge $\begin{eqnarray*} \frac{f(h)-1}{h} \end{eqnarray*}$ darf nicht divergieren, da ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ ist, fällt mir nur ein L'Hospital anzuwenden, aber ich habe das Gefühl das bringt mich kein bisschen weiter

01.05.2013, 20:17

Che Netzer

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Zitat:

Original von Gregorowitch
da ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ ist

Wieso weißt du das? Das solltest du jetzt eigentlich erst folgern.

01.05.2013, 20:31

Gregorowitch

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Das ergibt sich, wenn ich x=0 in die Funktionalgleichung einsetze

01.05.2013, 21:08

Che Netzer

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Nein, daraus könnte auch $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ folgen.
Unter der Annahme, dass $\begin{eqnarray*} f(x)\neq0 \end{eqnarray*}$ (für irgendein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ) folgt nun aber $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ .

Welche DGL erhältst du nun?

01.05.2013, 21:19

n-mal

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Zitat:

Nein, daraus könnte auch $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ folgen.

Sorry, misch mich nur kurz ein, bin gleich wieder weg.

Wenn man f(x) = f(x) * f(0) für alle x aus R hat, folgt daraus doch auch unter genau derselben Annahme, die man anders auch braucht, f(0) = 1.

Tschüss

02.05.2013, 23:36

Gregorowitch

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Mir ist klar, dass es auf die DGL hinauslaufen wird, welche ich in meinem ersten Beitrag erwähnt habe. Aber ich kann aus $\begin{eqnarray*} f'(x)=f(x)\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h} \end{eqnarray*}$ leider immernoch nicht $\begin{eqnarray*} f'(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ folgern, auch wenn ich $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ einfach mal als gegeben betrachte!

02.05.2013, 23:39

Che Netzer

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Du sollst auch nicht auf $\begin{eqnarray*} f'=f \end{eqnarray*}$ kommen.
Setze $\begin{eqnarray*} c:=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-1}h\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

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