Körpererweiterung von F5 quadratisch abgeschlossen?

01.05.2013, 21:59

Juhulia

Körpererweiterung von F5 quadratisch abgeschlossen?

Meine Frage:
Ich möchte zeigen, dass der Körper
$\begin{eqnarray*} F:= \bigcup_{n\geq 1} \mathbb{F}_{5} ( \sqrt[2^n]{2} ) \end{eqnarray*}$
quadratisch abgeschlossen ist.
Das heißt jedes Element ist ein Quadrat.

Meine Ideen:
Ich glaube, dass so wie es oben aufgeschrieben garkein Körper ist. Ich vereinige hier schließlich über Mengen deren Elemente die Form
$\begin{eqnarray*} a + b * \sqrt[2^k]{2} \end{eqnarray*}$
haben. Nehme ich also zwei Elemnte mit unterschiedlichem k, liegt deren Summe ja nicht wieder in F.
Wie kann diese Notation also gemeint sein?
Ich suche einen Körper, der quadratisch, aber nicht algebraisch abgeschlossen ist.

Danke schonmal für eure Hilfe!!

01.05.2013, 22:18

watcher

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Hallo und

Zitat:

Ich vereinige hier schließlich über Mengen deren Elemente die Form $\begin{eqnarray*} a + b * \sqrt[2^k]{2} \end{eqnarray*}$

Das ist falsch.

$\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 (\sqrt[2^2]{2})=\mathbb F_5[X]/(X^4-2) \end{eqnarray*}$ ist 4-dimensional über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5 \end{eqnarray*}$ und enthält netterweise $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

Es wäre hier zu zeigen, dass die $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5(\sqrt[2^n]{2} ) \end{eqnarray*}$ eine aufsteigende Kette bilden.
Ob das stimmt weiß ich momentan aber nicht.

01.05.2013, 23:08

tmo

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Sicherlich bilden die Körper eine aufsteigende Kette.

Es gilt ja $\begin{eqnarray*} (\sqrt[2^n]{2})^2 = \sqrt[2^{n-1}]{2} \end{eqnarray*}$ .

Entscheiden für den Beweis ist folgende Tatsache:

Für jeden endlichen Körper der Charakteristik p (p ungerade) hat die multiplikative Untergruppe der Quadrate Index 2.

D.h. adjungiert man eine einzige Wurzel, so wird jedes Element (des alten Körpers) im neuen Körper ein Quadrat.

Die Idee ist folgende:

Wir nehmen uns irgendein Element $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ im Körper, das dann in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_5(\sqrt[2^n]{2}) \end{eqnarray*}$ für irgendein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ liegt.

Dann finden (*) wir ein $\begin{eqnarray*} m > n \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} [\mathbb F_5(\sqrt[2^m]{2}) : \mathbb F_5(\sqrt[2^n]{2})]=2 \end{eqnarray*}$ gilt.

Dann liegt $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \in \mathbb F_5(\sqrt[2^m]{2}) \end{eqnarray*}$

Das einzige was für (*) noch zu zeigen bleibt ist, dass die Kette nicht stationiert. Dafür kann man z.b. auch über die zyklische Struktur der multiplikativen Gruppe eines endlichen Körpers gehen (Wenn die Kette stationiert, wäre der Körper, der da steht, ja endlich)

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