Potenziell gefährliche Potenzreihe

02.05.2013, 10:21

laienstefan

Potenziell gefährliche Potenzreihe

In der Einleitung findet sich folgender Satz:

[attach]29863[/attach]

Soweit, so gut. Weiter unten jedoch ein Beispiel:

[attach]29864[/attach]

Hier blicke ich nicht mehr durch.

In erster Linie erkenne ich den Aufbau aus der ersten Definition nicht wieder, sprich den Koeffizienten a_n und eben das, was potenziert wird. Wenn ich es so hinschreibe, dass ich eine Potenz mit nur n im Exponent erhalt, komme ich auf $\begin{eqnarray*} n*(x^n)^n \end{eqnarray*}$ und würde dabei n als Koeffizienten nehmen. Dann kommt aber nur Murks raus. Auffällig an deren Folge nte Wurzel Betrag a_n ist, dass nur die n, die Quadratzahlen darstellen, ungleich 0 sind (also 1, 4, 8, 16)

Wer kann mir zumindest die Richtung aus dem Schlamassel zeigen?

LG

02.05.2013, 10:31

Leopold

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Der Koeffizient $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ gehört zur Potenz $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ . Und darauf nehmen die beiden Formeln für den Konvergenzradius Bezug. Wenn nun in einer Potenzreihe Glieder fehlen, so sind die entsprechenden Koeffizienten $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Das ist aber hier der Fall:

$\begin{eqnarray*} x + 2x^4 + 3x^9 + 4x^{16} + \ldots = 0 \cdot x^0 + 1 \cdot x^1 + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x^3 + 2 \cdot x^4 + 0 \cdot x^5 + 0 \cdot x^6 + 0 \cdot x^7 + 0 \cdot x^8 + 3 \cdot x^9 + \ldots \end{eqnarray*}$

Nur wenn die Exponenten von Potenz zu Potenz um $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ steigen, kann man die Koeffizienten richtig ablesen.

02.05.2013, 10:40

laienstefan

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Danke, das bringt mich ja schonmal deutlich weiter. Trotzdem sehe ich nicht, worauf ich die "erste Formel" anwenden soll, um auf die untere Folge $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{|a_n|} \end{eqnarray*}$ mit den genannten Werten zu kommen... Ich erkenne einfach die ganz oben genannte Regel in diesem Beispiel nicht wieder.

02.05.2013, 11:02

Leopold

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Ich verstehe dein Problem nicht. Die Koeffizienten kannst du ablesen. Und dann mußt du eben noch die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Wurzel ziehen:

Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 0,1,0,0,2,0,0,0,0,3,0,0,0,0,0,0,4,\ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Wurzel von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left[ \ \sqrt[0]{0}, \right] \ \sqrt[1]{1},\sqrt[2]{0},\sqrt[3]{0},\sqrt[4]{2},\sqrt[5]{0},\sqrt[6]{0},\sqrt[7]{0},\sqrt[8]{0},\sqrt[9]{3},\sqrt[10]{0},\sqrt[11]{0},\sqrt[12]{0},\sqrt[13]{0},\sqrt[14]{0},\sqrt[15]{0},\sqrt[16]{4},\ldots \end{eqnarray*}$

(Der erste Term ist nicht definiert. Das spielt aber keine Rolle, da nur das Grenzverhalten der Folge von Bedeutung ist.)

Daß die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -te Wurzel aus $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ wieder $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist, sollte klar sein.

02.05.2013, 14:54

laienstefan

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Zitat:

Original von Leopold
Ich verstehe dein Problem nicht. Die Koeffizienten kannst du ablesen.

Das war das Problem. Ich dachte die Koeffizienten wären durch eine Folge a_n explizit angegeben, dem ist aber nicht so, richtig?

02.05.2013, 15:02

Leopold

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Zitat:

Original von laienstefan
Ich dachte die Koeffizienten wären durch eine Folge a_n explizit angegeben

Ich verstehe das nicht.

02.05.2013, 15:28

HAL 9000

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Vermutlich hat laienstefan eine zu enge Auffassung vom Begriff "explizit", und sieht das hier direkt ablesbare

$\begin{eqnarray*} a_k = \begin{cases} n & \;\mbox{falls $k$ eine Quadratzahl ist mit $k=n^2$}\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

nicht als explizite Angabe an. Augenzwinkern

02.05.2013, 15:47

laienstefan

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Zitat:

Original von HAL 9000
Vermutlich hat laienstefan eine zu enge Auffassung vom Begriff "explizit", und sieht das hier direkt ablesbare

$\begin{eqnarray*} a_k = \begin{cases} n & \;\mbox{falls $k$ eine Quadratzahl ist mit $k=n^2$}\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

nicht als explizite Angabe an. Augenzwinkern

LAIEnstefan erkennt diese explizite Vorschrift nicht aus dem ursprünglichen Term (warum die Koeffizienten aller Nicht-Quadratzahlen 0 sind)

02.05.2013, 15:49

HAL 9000

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Auch nicht nach dem Beitrag von Leopold, heute 10:31 ? geschockt

02.05.2013, 15:56

laienstefan

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Okay, ich gebe mich geschlagen. Danke vielmals.

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