Umlaufzahlen berechnen

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Sway Auf diesen Beitrag antworten »
Umlaufzahlen berechnen
Ich will die Umlaufzahlen für folgende Kurven berechnen:

c1 = (2sin(t),sin(2t))

c2=(2cos(t),sin(t))

Die Umlaufzahl ist folgendermaßen definiert:



Nun bin ich mit meiner Rechnung so weit gekommen:





Nun frage ich mich, wie ich das integrieren soll? Ich habe es schon mit ein paar Additionstheoremen probiert, bin aber damit nicht weiter gekommen.

Bei der zweiten Kurve dachte ich an den Arctan, aber was mache ich mit der 3?

Hat hier jemand einen Tipp für mich?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Beim ersten Integral hilft via und somit



die Substitution , wobei man das entstehende -Integral nicht wirklich ausrechnen muss - man schaue nur auf die substituierten Grenzen. Augenzwinkern


Beim zweiten Integral sollte Substitution bzw. alternativ auch das Integral vereinfachen. Dazu ist allerdings der Integrationsbereich geeignet aufzuteilen.
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort!

Dann erhalte ich:



Danke für den Tipp, aber warum man das nicht ausrechnen muss, verstehe ich noch nicht unglücklich

Beim zweiten gehts mir ähnlich:

verwende ich cot(t), dann gilt:







Aber wie verwende ich das?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sway
aber warum man das nicht ausrechnen muss, verstehe ich noch nicht unglücklich

Zunächst mal: Substitution vollständig ausführen (also inklusive Differential), nicht nur rudimentär. Forum Kloppe

Und dann:

Zitat:
Original von HAL 9000
man schaue nur auf die substituierten Grenzen. Augenzwinkern

Dazu bringe ich mal die vollständige Substitutionsregel in Erinnerung:

,

wobei im Intervall als stetig differenzierbar vorausgesetzt wird.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Hat das etwas zu bedeuten, daß beim Differential , sonst aber steht, oder ist das nur ein Schreibfehler?

Ich kenne diesen Begriff der Umlaufzahl nicht. Es klingt aber so, als wäre immer eine ganze Zahl. Wenn dem so ist, kommt man mit einer groben Abschätzung hin. Es gilt



Und da auf einem ganzen Teilintervall von sogar die strikte Ungleichung gilt, folgt nach Integration und Multiplikation mit



Damit wäre der Integralwert klar.
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für eure Hilfe!

Also die Definition lautet tatsächlich, dass für eine Kurve c:[a,b] -> R^2 mit Krümmung k(t) gilt:



was mich in der Tat auch verwirrt, gibt hier ja nur das t..

Das mit dem Abschätzen kenne ich eigentlich so nicht, kann man das einfach so machen? Ist wahrscheinlich irgendwas aus der Analysis oder? Wobei mir auch dabei nicht ganz klar ist, warum letztendlich 2 herauskommt??

Zur Substitutionsregel, ich schreibe es nun schöner auf:



Also ich habe jetzt alles mit t formuliert, weiß nicht, wie das sonst funktionieren soll...alles nach s schreiben??

und somit und

Dann folgt:



Ja, das mit der Vollständigkeit hat seinen Sinn Augenzwinkern , dann kann ich den Sinus kürzen, gelle:



Stimmt das bis jetzt? Und der Rest ist nicht abzuleiten?
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man redet und redet und redet von Substituierung der Grenzen - zum einen Ohr rein, zum anderen raus. Finger2

Nochmal: Da steht

Zitat:
Original von HAL 9000
Dazu bringe ich mal die vollständige Substitutionsregel in Erinnerung:

,

wobei im Intervall als stetig differenzierbar vorausgesetzt wird.

und damit nicht

. Forum Kloppe
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Uiui, ja stimmt, sorry sorry...

Also:





Hm, und was mache ich damit? Das ist dann einfach 0 oder?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen vielen Dank!!!

Ich mache mit dem zweiten weiter:

hier verwende ich ja und weiter und somit

dann kann ich das einsetzen:



Geht das bei den Grenzen, denn cot = cos/sin und der sin(0) ist ja 0 und durch 0 geht ja nicht...
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, Moment hier hab ich irgendwas falsch gemacht...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal: Ich finde Leopolds Abschätzungen zu dieser Aufgabe exzellent weil angenehm rechenarm.

Wenn du dennoch dich zu voller Rechnung durchbeißen willst, dann solltest du in

Zitat:
Original von HAL 9000
,

wobei im Intervall als stetig differenzierbar vorausgesetzt wird.

auch den letzten Nebensatz beachten: Im Falle von



ist diese Bedingung eben nicht für das Gesamtintervall erfüllt: Nicht nur an den Intervallgrenzen, nein auch in der Mitte bei liegen Polstellen, welche die direkte Anwendung dieser Substitutionsregel mit und unmöglich machen. Daher ja meine obige Anmerkung

Zitat:
Original von HAL 9000
Dazu ist allerdings der Integrationsbereich geeignet aufzuteilen.
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ja es klingt sehr gut, aber ich versteh`s nicht ganz leider, irgendwas fehlt mir dabei...

Warum gilt:

???

Gut ich habe mir den Graphen angesehen, und könnte damit begründen, aber wieso ergibt die Abschätzung dann genau 2?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sway
???

Ich hab mir immer eingebildet, dass mit der Hochschulreife auch verbunden ist, solche kleinen Schritte auch mal selbst zu überlegen ... nun gut: Es ist



da das Quadrat einer reellen Zahl immer nichtnegativ ist. Das zum Kehrwert genommen ergibt



und positiv ist der Term links ja sowieso.
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr streng Augenzwinkern ich habe einfach ein Talent ganz einfache Dinge ganz kompliziert zu interpretieren...

Gut, das ist klar! Ich bin inzwischen auch draufgekommen, dass das Ergebnis nicht die 2 ist, sondern 1...das hat auch verwirrt..

Trotzdem ist hier:

Zitat:
Original von Leopold





Woher kommt das

Da ist ja gar kein Integrand??
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

"Kein Integrand" gibt es nicht - da steht eine unsichtbare 1, die ja als Faktor interpretiert auch weggelassen werden kann.
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann hab ichs glaub ich!

Ich dank dir vielmals! Vor allem für deine Geduld Augenzwinkern
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bräuchte leider doch nochmals Hilfe...

Ich möchte von den vorherigen zwei Kurven auch noch die Windungszahl bestimmen, und zwar um die Punkte (1,0), (-1,0) und (0,2).

Die Windungszahl wird folgendermaßen definiert:



Das würde für die erste Kurve und den ersten Punkt folgendermaßen aussehen:



Ich wüsste nicht, wie ich das ausrechnen soll mit den Parameterdarstellungen und dem Punkt...

Anderseits ist die Windungszahl um den Punkt 0 gleich der Umlaufzahl. Jetzt frage ich mich, ob man das irgendwie auch für andere Punkte verwenden kann, oder ob das der einzige Zusammenhang ist?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sway
Ich wüsste nicht, wie ich das ausrechnen soll mit den Parameterdarstellungen und dem Punkt.

Man sollte schon jeweils den Kontext beachten, in dem eine Formel gelten soll. Hier in diesem Fall geht es NICHT wie oben um Kurven , sondern , d.h. wende diese Formel auf



an, entsprechend dann mit den Punkten .
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Puh, ok danke!

Also



Ich hoffe, das stimmt jetzt ausnahmsweise.. unglücklich

Das könnte ich dann gleich behandeln wie vorhin...Substitution u = cos(t) oder?
Dann hätte ich wieder ein Integral von 1 bis 1 und das Ergebnis wäre wieder 0. Aber das wäre ja dann für alle Punkte 0??
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Mensch, sorry jetzt war ich zu langsam beim umändern des Beitrags...

War ja klar, dass ich mich wieder vertan hab, es ist:



und das ist wahrscheinlich nicht mehr so einfach zu berechnen unglücklich
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