Integral - Fläche von Parabel

02.05.2013, 14:59

Tipso

Integral - Fläche von Parabel

Hallo,

Zitat:

Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das von den Parabeln $\begin{eqnarray*} y = x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y = 8 - x^2 \end{eqnarray*}$ begrenzt wird und skizziere den Sachverhalt.

Vorgehensweise:

Gleichsetzen der beiden Funktionen um deren Schnittpunkte zu ermitteln.
Ich brauche hier unbedingt zwei?
Welche dann meine Grenzen darstellen.

Brauche ich unbedingt zwei Schnittstellen?
Was mache ich, wenn es keine gibt?

$\begin{eqnarray*} x^2 = 8-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x^2 = 8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 = 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2 + x^2 = 2x^2 \end{eqnarray*}$ verwirrt

-------------------------------------

lg

02.05.2013, 15:49

klarsoweit

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RE: Integral - Fläche von Parabel

Zitat:

Original von Tipso
Brauche ich unbedingt zwei Schnittstellen?

Das wäre durchaus hilfreich. Sonst hast du ein nach einer Seite unbegrenztes Integral. smile

Jetzt mußt du die Differenz der beiden Funktionen zwischen diesen beiden Schnittstellen integrieren.

02.05.2013, 16:14

Tipso

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RE: Integral - Fläche von Parabel
Hi,

Wenn es überhaupt keine oder nur einen Schnittp. gibt, dann müssten Grenzen angegeben sein. smile

Ich glaube, jetzt habe ich es verstanden.

Anfängerfrage:

Ich weiß, dass es stimmt. Ich kann es aber nicht nachvollziehen.

1 + 1 = 2

2 + 2 = 4

2 + 2 = 2*2

3 + 3 = 6

3 + 3 = 2*3 verwirrt

Ich meine:

$\begin{eqnarray*} x^2 + x^2 = 2x^2 \end{eqnarray*}$
-------------------------------------------------

Fläche zwischen den Grenzen - 2 und 2.

$\begin{eqnarray*} \int_2^{-2} \! (8 - x^2) - x^2 \, dx = 8 - 2x^2 = \left[8x - 4x\right]_{-2}^{2} = | 8 -(- 8) | = 16 Fe \end{eqnarray*}$

Beispiel für das Verständnis

$\begin{eqnarray*} \int_2^{-2} \! (8x^2 - 2) - x^2 \, dx = 7x^2 - 2 \end{eqnarray*}$

lg

03.05.2013, 08:25

klarsoweit

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RE: Integral - Fläche von Parabel

Zitat:

Original von Tipso
Ich meine:

$\begin{eqnarray*} x^2 + x^2 = 2x^2 \end{eqnarray*}$

Ja, wo ist das Problem? Nimm die Apfel-Methode: 1 Apfel + 1 Apfel = 2 Äpfel. smile

Zitat:

Original von Tipso
Fläche zwischen den Grenzen - 2 und 2.

$\begin{eqnarray*} \int_2^{-2} \! (8 - x^2) - x^2 \, dx = 8 - 2x^2 = \left[8x - 4x\right]_{-2}^{2} = | 8 -(- 8) | = 16 Fe \end{eqnarray*}$

Was ist das wieder für ein Chaos? Erstmal muß es $\begin{eqnarray*} \int_{-2}^2 \! (8 - x^2) - x^2 \, dx = \int_{-2}^2 8 - 2x^2 ~dx \end{eqnarray*}$ heißen.

Dann stimmt die Stammfunktion "8x - 4x" nicht. Da müßte es dir doch auffallen, daß du deine Stammfunktion zu 4x zusammenfassen kannst, obwohl ein Zusammenfassen im Integranden vorher nicht möglich war.

03.05.2013, 14:38

Tipso

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RE: Integral - Fläche von Parabel
hi, Freude

War doch bis auf die Notation richtig und das ich nicht zusammengefasst habe. verwirrt

stimmt dies?
Edit:
Grenzen habe ich auch vertauscht.

$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{2} \! (8 - x^2) - x^2 \, dx =\int_{-2}^{2} 8 - 2x^2 = \left[8x - 4x\right]_{-2}^{2} = \left[ 4x\right]_{-2}^{2}= | 8 -(- 8) | = 16 Fe \end{eqnarray*}$

Freude

Hoffe es passt nun.

lg

07.05.2013, 16:30

Tipso

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hi,

Im nachhinein muss ich sagen, dass die Aufgabe doch falsch berechnet ist. verwirrt

Da stimmt doch etwas mit dem Integral nicht. verwirrt

08.05.2013, 08:16

klarsoweit

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RE: Integral - Fläche von Parabel
Der Grund steht hier:

Zitat:

Original von klarsoweit
Dann stimmt die Stammfunktion "8x - 4x" nicht. Da müßte es dir doch auffallen, daß du deine Stammfunktion zu 4x zusammenfassen kannst, obwohl ein Zusammenfassen im Integranden vorher nicht möglich war.

Um es nochmal anders auszudrücken: deine angebliche Stammfunktion kannst du zu 4x zusammenfassen. Aber wenn du auf den ursprünglichen Integranden schaust, ist Zusammenfassen nicht möglich. Das legt doch den Verdacht nahe, daß du dich bei der Stammfunktion verhauen hast.

08.05.2013, 12:24

Tipso

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RE: Integral - Fläche von Parabel
Big Laugh

Ach

falsch:
$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{2} \! (8 - x^2) - x^2 \, dx =\int_{-2}^{2} 8 - 2x^2 = \left[8x - \right]_{-2}^{2} = \left[ 4x\right]_{-2}^{2}= | 8 -(- 8) | = 16 Fe \end{eqnarray*}$

richtig:
$\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{2} \! (8 - x^2) - x^2 \, dx =\int_{-2}^{2} 8 - 2x^2 = \left[8x - \frac{2x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = (16-341,33) - (-16-341,33) = 16 Fe \end{eqnarray*}$

Immerhin hätte das Ergebnis gestimmt. Big Laugh

Ich finde, falls die Rechnung richtig ist, diese sehr unverständlich, ich ziehe von einer negativen Fläche eine positive ab und erhalte eine positive Fläche ..

08.05.2013, 12:44

klarsoweit

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RE: Integral - Fläche von Parabel
Also ehrlich gesagt: deine Rechenkünste sind etwas mittelmäßig. geschockt

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \int_{-2}^{2} \! (8 - x^2) - x^2 \, dx = \int_{-2}^{2} 8 - 2x^2 = \left[8x - \frac{2x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = (16 - \frac{16}{3}) - (-16 + \frac{16}{3}) = 32 - \frac{32}{3} = ... \end{eqnarray*}$

08.05.2013, 13:07

Tipso

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RE: Integral - Fläche von Parabel
Freude

08.05.2013, 13:32

klarsoweit

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RE: Integral - Fläche von Parabel
OK, das stimmt jetzt.
Die negativen Auswirkungen des Gebrauchs von Taschenrechnern sind nicht unerheblich. Big Laugh

08.05.2013, 13:40

Tipso

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erwischt.

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