Vollständige Induktion n-te Ableitung mit Fakultät

02.05.2013, 16:15

Daniel0815

Vollständige Induktion n-te Ableitung mit Fakultät

Hallo Leute!

Ich brauche dringend einen Tip zum Umgang mit Fakultäten.
Ich habe bei dieser Aufgabe im Induktionsschluss eine Frage.
Ich schreibe hier daher nur die Aufgabenstellung und den Induktionsschluss rein da der Rest nicht wichtig ist.

Sei $\begin{eqnarray*} f(x) = ln(x) . \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass für die n - te Ableitung gilt:

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{x^n} . \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x)=((-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{x^n})'=((-1)^{n-1}(n-1)x^{-n} )' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x)=((-1)^{n-1}(n-1)-n\cdot x^{-n-1} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x)=((-1)^{n-1}(-1)^{1}(n+1)\cdot n\cdot x^{n+1} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x)=((-1)^{n}\cdot n!\cdot \frac{1}{x^{n+1} } \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist wie komme ich im letzten Schritt auf n! ?

Es ist eine alte Klausuraufgabe und der Induktionsschluss ist aus der Musterlösung übernommen.

02.05.2013, 16:45

weisbrot

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RE: Vollstänige Induktion n-te Ableitung mit Fakultät.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x)=((-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{x^n})'=((-1)^{n-1}(n-1)x^{-n} )' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x)=((-1)^{n-1}(n-1)-n\cdot x^{-n-1} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x)=((-1)^{n-1}(-1)^{1}(n+1)\cdot n\cdot x^{n+1} ) \end{eqnarray*}$

das ist ein ganzschönes wirrwarr, und so wie es da steht auch einfach falsch.
du weißt doch sicher, wie man x^(-n) ableitet!? mach das da einfach und dann musst du nur noch etwa wissen, was die fakultätsfunktion macht, also hier speziell was (n-1)!*n ist.
lg

02.05.2013, 17:02

Daniel0815

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RE: Vollständige Induktion n-te Ableitung mit Fakultät
Sei $\begin{eqnarray*} f(x) = ln(x) . \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass für die n - te Ableitung gilt:

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{x^n} . \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x)=((-1)^{n-1}(n+1)!\frac{1}{x^n})'=((-1)^{n-1}(n+1)x^{-n} )' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x)=((-1)^{n-1}(n+1)-n\cdot x^{-n-1} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x)=((-1)^{n-1}(-1)^{1}(n+1)\cdot n\cdot x^{-(n+1)} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x)=((-1)^{n}\cdot n!\cdot \frac{1}{x^{n+1} } \end{eqnarray*}$

Ich habe es korrigiert sorry. Die Lösung habe ich wie gesagt aus der Musterlösung vom Professor.
Beim Induktionsschluss muss ja nach x abgeleitet werden.
Bei der Aufgabenstellung müßte es wohl dann auch (n+1)! sein. Ich kann alles nachvollziehen abgesehen vom letzten Schritt wie ich auf n! komme.

02.05.2013, 17:15

weisbrot

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RE: Vollständige Induktion n-te Ableitung mit Fakultät
das ist immernoch genauso falsch. wenn du die annahme einsetzt hast du da erstmal (n-1)!, und nicht (n+1)!. wenn man das verbessert und um die -n noch klammern setzt, dann sollte das richtig sein.
und dann kannst du mit meiner ersten antwort versuchen zu verstehen, warum das so ist.
lg

02.05.2013, 17:25

Daniel0815

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RE: Vollständige Induktion n-te Ableitung mit Fakultät

Zitat:

Original von Daniel0815
Sei $\begin{eqnarray*} f(x) = ln(x) . \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass für die n - te Ableitung gilt:

$\begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{x^n} . \end{eqnarray*}$

Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x)=((-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{x^n})'=((-1)^{n-1}(n+1)x^{-n} )' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x)=((-1)^{n-1}(n-1)(-n)\cdot x^{-n-1} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x)=((-1)^{n-1}(-1)^{1}(n-1)\cdot n\cdot x^{-(n+1)} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(x)=((-1)^{n}\cdot n!\cdot \frac{1}{x^{n+1} } \end{eqnarray*}$

Ich habe es korrigiert sorry. Die Lösung habe ich wie gesagt aus der Musterlösung vom Professor.
Beim Induktionsschluss muss ja nach x abgeleitet werden.
Bei der Aufgabenstellung müßte es wohl dann auch (n+1)! sein. Ich kann alles nachvollziehen abgesehen vom letzten Schritt wie ich auf n! komme.

Korrektur Nr.2. Sorry.
Bedeutet das n(n-1)<=>zu n! ist? Kann doch nicht sein?

02.05.2013, 17:51

Daniel0815

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Hat noch jemand einen Tip für mich. Ich komme nicht darauf wie ich von (n-1)!*n
auf n! komme. Vielleicht kann mir das jmd. verständlich erklären?

(n-1)!=n! (n-1) Das weiß ich! Wie komme ich damit auf n!

02.05.2013, 18:05

Daniel0815

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OK problem is solved. Hab es im Taschenrechner eingegeben. Der hat meine Theorie bestätigt. n(n-1)!=n! Finger1

Closed!

02.05.2013, 18:06

weisbrot

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Zitat:

Ich komme nicht darauf wie ich von (n-1)!*n

das ist einfach die (rekursive) definition für n! - man setzt 0! := 1 und erklärt die fakultät für beliebiges n>0 durch die fakultät seines vorgängers: n! := n*(n-1)!.
du kannst dir das auch anschaulich aufschreiben als: n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1 = n*[(n-1)*(n-2)*...*2*1] = n*(n-1)!.

entsprechend ist das

Zitat:

(n-1)!=n! (n-1) Das weiß ich!

aber nicht richtig.

lg

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