Konvergenzbeweis

02.05.2013, 18:10

Elli1982

Konvergenzbeweis

Edit (mY+): Bitte schreibe keine Romane in die Überschrift, das gehört in den Text! Der Titel soll kurz und prägnant sein. Modifiziert.

Meine Frage:
Ich habe eine Übungsaufgabe erhalten, die lautet:

fn konvergiert gleichmäßig gegen f
g ist gleichmäßig stetig

zu zeigen ist:
=> g*fn konvergiert gleichmäßig gegen g*f

Ich bin Hochschulwechseler mit Seiteneinstieg und muss gerade quasi innerhalb von wenigen Monaten 2 Semester nachholen. Deshalb stehe ich total auf dem Schlauch. Ich wäre so dankbar über eine Hilfe. Ich habe wirklich keine Ahnung.

Meine Ideen:
zu zeigen ist also
|g*f - g*fn|->0

Was man also hat ist, dass für f eben gilt:
Für alle e>0 existiert ein n´ sodass für alle n>=n´ und für alle x in I gilt : |fn-f|<e

und außerdem g gleichm. stetig:
FürAlle e>0 existiert d>0 so dass für alle x,y gilt: |x-y|<d => |f(x)-f(y)| < e.
ich bin aber überfordert, diese Stetigkeit vernünfitg einzubauen... :-(

02.05.2013, 18:36

weisbrot

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RE: fn konvergiert gleichm. gegen f; g gleichm. stetig; dann konvergiert g o fn gegen g o f
du kannst einfach beide voraussetzungen direkt "ineinander einsetzen", d.h. - ich schreibe nochmal ordentlich auf:
1. $\begin{eqnarray*} \forall_{\epsilon >0}\exists_{\delta >0}\forall_{x,y\in\mathbb R}: |x-y|<\delta\implies |g(x)-g(y)|<\epsilon \end{eqnarray*}$
und
2. $\begin{eqnarray*} \forall_{\delta >0}\exists_{n_0\in\mathbb N}\forall_{n\geq n_0, x\in\mathbb R}: |f_n(x)-f(x)|<\delta \end{eqnarray*}$
- aus 1. hat man für alle epsilon irgendein delta; mit 2. bekommt man für alle delta - also vorallem für dieses aus 1. - ein n_0 usw. mit einer eigenschaft B. also insgesamt bekommt man für alle epsilon ein n_0 usw. mit beiden eigenschaften. und das ist schon fast die glm. konvergenz von g°f_n. kommst du selber drauf?
lg

02.05.2013, 19:15

Elli1982

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RE: fn konvergiert gleichm. gegen f; g gleichm. stetig; dann konvergiert g o fn gegen g o f
erst einmal herzlichen Dank!

Ich habe mir diese "Einsetzung" oder Verkettung auch soweit so vorgestellt...

Diese DELTA Nutzung verbindet ja (sehr schön (beschrieben)) eben diese 2 Bedingungen.

Aus dem epsilon ergibt sich das delta und daraus ein n0, welches beide eigenschaften beinhaltet.

Eigentlich ist es das ja irgendwie schon. Aber ich tu mich total schwer damit, dass jetzt korrekt aufzuschreiben.

und ist das Ergebnis dann direkt:
[latex] \forall \epsilon >0 \exists n_0 \forall n\geq n_0: | g(f_n(x))-g(f(x)) |\leq \epsilon [\latex]

ist das gar falsch formuliert von mir, sollte das Ziel = das z.z. sein!
Oder muss ich noch was anderes als Zwischenschritt tun?!?

Bor, peinlich!

02.05.2013, 19:23

Elli1982

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RE: fn konvergiert gleichm. gegen f; g gleichm. stetig; dann konvergiert g o fn gegen g o f
besser gesagt:

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists \delta >0 für dass ein n_0 existiert \forall f_n(x), f(x) : |f_n(x)-f(x)| < \elta => |f_n (x)-f(x)| <= \epsilon \end{eqnarray*}$

02.05.2013, 19:25

Elli1982

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RE: fn konvergiert gleichm. gegen f; g gleichm. stetig; dann konvergiert g o fn gegen g o f
sorry!

besser gesagt:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon >0 \exists \delta >0 \exists n_0 \forall f_n(x),f(x): |f_n(x)-f(x)| < \delta => |f_n (x)-f(x)| \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

02.05.2013, 19:35

weisbrot

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RE: fn konvergiert gleichm. gegen f; g gleichm. stetig; dann konvergiert g o fn gegen g o f
ja, schon fast.
wenn du erstmal stur "einsetzt", bekommst du $\begin{eqnarray*} \forall_\epsilon\exists_{n_0,\delta}\forall_{n,x,y,z}: |f_n(z)-f(z)|<\delta\quad\text{und}\quad |x-y|<\delta\implies |g(x)-g(y)|<\epsilon \end{eqnarray*}$
dann ist auch schon fast klar, wie man sich x,y wählen sollte, damit da das gewünschte rauskommt.
es ist auch deutlich unwichtiger das richtig aufzuschreiben, als zu verstehen, was man da macht und wieso.
lg

02.05.2013, 19:44

Elli1982

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RE: fn konvergiert gleichm. gegen f; g gleichm. stetig; dann konvergiert g o fn gegen g o f
nun denke ich, es ergibt sich daraus für die Wahl in 1 für x=f_n(x) und y=f_n(x):
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon \exists \delta \exists n_0 \forall f_n(x),f(x): |f_n(x)-f(x)| < \delta => |f_n (x)-f(x)| \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Und da f_n gleichm. konvergent ist eben |f_n(x)-f(x)| < \delta, also gilt was zu zeigen war.

Ist das richtig?!?

02.05.2013, 20:20

weisbrot

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RE: fn konvergiert gleichm. gegen f; g gleichm. stetig; dann konvergiert g o fn gegen g o f
noch nicht ganz. ich sehe auch nicht genau wie du damit ans ziel kommst..

Zitat:

Und da f_n gleichm. konvergent ist eben |f_n(x)-f(x)| < \delta, also gilt was zu zeigen war.

das ist auch nicht das zu zeigende, sondern, dass g°f_n glm. konvergiert, also $\begin{eqnarray*} \forall_\epsilon\exists_{n_0}\forall_{n, x} : |g(f_n(x))-g(f(x))|<\epsilon \end{eqnarray*}$ .
das bekommst du, wenn du in meiner davor geposteten formel x,y als f_n(z) bzw. f(z) nimmst, und an ein bestimmtes logisches gesetz denkst.
lg

02.05.2013, 21:39

Elli1982

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RE: fn konvergiert gleichm. gegen f; g gleichm. stetig; dann konvergiert g o fn gegen g o f
klar - sorry - ich habe die Formeln hier nicht richtig gesetzt !

Was ich meinte war flg.:

g gleichm. stetig <=> 1.

wähle x:=f_n(x) und y:= f(x) in 1., dann folgt

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon \exists \delta \forall f_n(x),f(x) : |f_n(x)-f(x)| < \delta \Rightarrow |g(f_n(x))-g(f(x))|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f(x)| < \delta \end{eqnarray*}$ ja gem. 2. erfüllt ist (da f glm. konvergent) gilt dann für $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon \exists n_0 \forall x,n>n_0 : |f(f_n(x))-g(f(x))| < \epsilon \end{eqnarray*}$

d.h. g*f_n konvergiert glm. gegen g*f .

03.05.2013, 16:29

weisbrot

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RE: fn konvergiert gleichm. gegen f; g gleichm. stetig; dann konvergiert g o fn gegen g o f
ja, also ich denke du hast es verstanden. man schreibt es aber nicht so - sowas wie x:=f(x) macht man nur in der informatik, nimm da für das linke x einfach einen anderen variablennamen, wie z.b. bei mir z. und sowas wie $\begin{eqnarray*} \forall f(x) : ...f(x)... \end{eqnarray*}$ ergibt eigendlich auch keinen sinn, hier kannst du dann einfach schreiben $\begin{eqnarray*} \forall z : ...f(z)... \end{eqnarray*}$ .
und dann verbindet du wie gesagt beide voraussetzungen, und wegen modus ponens (aus A, A->B folgt B) bekommst du damit die gewünschte aussage.
lg

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