Bestimmung von Drehachse aus Punkten auf Rotationskörper

02.05.2013, 18:25	geometer	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung von Drehachse aus Punkten auf Rotationskörper Hi! Ich habe aus einer Anwendung ca. 20 Punkte $\begin{eqnarray} p_1,p_2,\ldots \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ von denen ich weiss, dass sie auf einem Rotationskörper liegen. Außerdem habe ich zu jedem dieser Punkte den Normalenvektor $\begin{eqnarray} n_1,n_2,\ldots \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ am Rotationskörper. Ich frage mich, wie ich an eine Darstellung für die Drehachse komme. Ideen soweit: Die Normalen an der Körperoberfläche schneiden alle die Drehachse des Körpers. Wenn ich also die Drehachsengerade mit der Darstellung $\begin{eqnarray} x+v\cdot \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x,v \in \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ suche, dann weiß ich, dass es $\begin{eqnarray} \lambda_1,\lambda_2,\ldots \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu_1,\mu_2,\ldots \end{eqnarray}$ gibt so dass $\begin{eqnarray} p_1 + \lambda_1 \cdot n_1 = x + \mu_1 \cdot v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_2 + \lambda_2 \cdot n_2 = x + \mu_2 \cdot v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_3 + \lambda_3 \cdot n_3 = x + \mu_3 \cdot v \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} p_{20} + \lambda_{20} \cdot n_{20} = x + \mu_{20} \cdot v \qquad \end{eqnarray}$ oBdA kann ich $\begin{eqnarray} \mu_1 = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mu_2 = 1 \end{eqnarray}$ wählen womit $\begin{eqnarray} x = p_1 + \lambda_1 \cdot n_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v = (p_2 + \lambda_2 \cdot n_2) - (p_1 + \lambda_1 \cdot n_1) \end{eqnarray}$ folgt, was ich dann in Gleichungen #3 bis 20 einsetzen kann. Tatsächlich habe ich so schon mit den Gleichungen #3-5 neun Gleichungen mit 9 Variablen, aber die sind nichtlinear und so komme ich nicht weiter. Zweite Idee: Suche die Drehachse $\begin{eqnarray} x+v\cdot \mathbb{R} \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft, dass für jeden Drehwinkel um sie das Skalaprodukt von zwei beliebigen Punkten $\begin{eqnarray} p_i,p_j \end{eqnarray}$ aus der Punktmenge erhalten bleibt. Auch dafür hat man schnell soviele Gleichungen wie Unbekannten, aber auch die sind nichtlinear. Im Übrigen macht man von den Normalen keinen Gebrauch. Mir fällt nichts bahnbrechendes mehr ein, euch?
03.05.2013, 11:34	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist im Allgemeinen nicht möglich, aus der Kenntnis beliebig vieler Punkte und Normalvektoren eines Rotationskörpers dessen Drehachse zu bestimmen. Dass wäre nur dann möglich, wenn darunter solche Punktpaare (oder Punkttripel usw) sind, welche auf einer Kreisbahn liegen.
03.05.2013, 14:23	geometer	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist mir nicht unmittelbar klar. Mir scheint dass die Achse wohl durch die Punkte eindeutig bestimmt ist (oder siehst du das schon anders?), nur ob/wie sie algorithmisch konstruktiv bestimmt werden kann, das ist mir nicht klar.
04.05.2013, 12:59	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man alle Bedingungsgleichungen mit $\begin{eqnarray} \vec{nv}=\vec{n_i}\times\vec v \end{eqnarray}$ das Innen/Skalarprodukt bildet, erhält man: $\begin{eqnarray} (\vec{p_i}-\vec{x})\circ \vec{nv} =0 \end{eqnarray}$ Falls es sich bei den Angaben um Messwerte oder nicht exakte Informationen handelt, muss man damit rechnen, dass man nicht für alle Punkte auf dem Rotationskörper immer mit einer einzigen Rotationsachse 0 erzielen kann. Deshalb schreibe ich ein Optimierungsproblem: Sei eine Drehachse gewählt und $\begin{eqnarray} f_i=(\vec{p_i}-\vec{x})\circ \vec{nv} \end{eqnarray}$ der Abweichungswert des i-ten Punktes zu der geforderten 0. Zu optimieren/minimieren ist dann $\begin{eqnarray} G(\vec x,\vec v)=\sum_{i=1}^{n} (f_i)^2 \end{eqnarray}$ Entweder man variiert die Komponenten des Punktes und des Richtungsvektors, um ein Minimum zu suchen (Stichwort Gradientenmethode) oder man differenziert G partiell nach diesen VektorKomponenten und sucht die Nullstellen der 6 Ableitungen. Leider ist das entstehende Gleichungssystem nichtlinear. Kritisch könnte es werden für Punkte auf den Deckflächen, falls diese senkrecht auf der Drehachse stehen, da dann das Kreuzprodukt 0 ergibt.

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