Torsion einer ebenen Frenet-Kurve

02.05.2013, 18:31

Sway

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Torsion einer ebenen Frenet-Kurve

Ich möchte zeigen, dass für eine ebene Frenet-Kurve die Torsion verschwindet, sowie die Umkehrung davon. c: [a,b] -> R^3

Die Frenet-Formeln besagen, bzw. eine davon:

$\begin{eqnarray*} b' = -Tn \end{eqnarray*}$

wobei b die Binormale ist und T die Torsion und n die Normale.

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} n(t) = \frac{c''}{|c''|} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} b(t) = c'(t) \times n(t) \end{eqnarray*}$

So, und jetzt weiß ich absolut nicht weiter, kann mir hier jemand helfen?

Vielen Dank.

04.05.2013, 14:36

Sway

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Ich bin inzwischen etwas schlauer geworden und habe herausgefunden, dass man hier zeigen kann, dass die Binormale konstant ist, woraus dann das Ergebnis folgt...

Kann mir viel. jemand einen Tipp geben, wie ich zeigen kann, dass die Binormale konstant ist?

04.05.2013, 22:37

Che Netzer

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Tangential- und Normalenvektor einer ebenen Kurve liegen immer in einer festen Ebene, d.h. deren Kreuzprodukt ist der eindeutige Normalenvektor zu dieser Ebene in entsprechender Orientierung.

06.05.2013, 11:26

Sway

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Dank dir!

Woher weiß ich, dass Tangential- und Normalenvektor in einer Ebene liegen? Ich meine, anschaulich wäre mir das klar, aber muss ich das explizit zeigen oder darf man das so annehmen?

d.h. die Binormale hat entsprechende Orientierung und man könnte sagen, dass sie aus Stetigkeitsgründen diese auch nicht ändert oder? Somit also konstant ist...

Kann man das auch formal zeigen?

Bei der Umkehrung tu ich mir noch etwas schwerer, wobei man bestimmt gleich vorraussetzen kann, dass b konstant ist...aber wie beschreibe ich die Ebene?

06.05.2013, 12:11

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sway
Woher weiß ich, dass Tangential- und Normalenvektor in einer Ebene liegen?

Das weiß man aus der Theorie ebener Kurven.

Zitat:

d.h. die Binormale hat entsprechende Orientierung und man könnte sagen, dass sie aus Stetigkeitsgründen diese auch nicht ändert oder? Somit also konstant ist...

Kann man das auch formal zeigen?

Das genügt doch schon...

Zitat:

Bei der Umkehrung tu ich mir noch etwas schwerer, wobei man bestimmt gleich vorraussetzen kann, dass b konstant ist...aber wie beschreibe ich die Ebene?

Die Ebene ist dann die, die senkrecht zu $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist.

06.05.2013, 13:01

Sway

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Hm, also ist zu zeigen, dass das Skalarprodukt von c und b = 0 ist?

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06.05.2013, 19:13

Che Netzer

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RE: Torsion einer ebenen Frenet-Kurve
Zumindest, dass es konstant ist bzw. dass $\begin{eqnarray*} c(t)-c(0) \end{eqnarray*}$ stets senkrecht zu $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist.

07.05.2013, 12:38

Sway

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Es sei b konstant,

dann ist $\begin{eqnarray*} <b,c>' = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} <b,c> \end{eqnarray*}$ ebenfalls konstant oder?

Wieso $\begin{eqnarray*} c(t) - c(0) \end{eqnarray*}$ ?

07.05.2013, 14:06

Che Netzer

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Wieso ist denn diese Ableitung Null?
Und $\begin{eqnarray*} c(t)-c(0) \end{eqnarray*}$ betrachten wir, weil die Ebene, in der $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ enthalten ist, ja nicht durch den Ursprung gehen muss.

07.05.2013, 21:05

Sway

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Ich dachte, wenn b konstant ist, dann ist die Ableitung von b'=0 und folglich auch das Skalarprodukt oder?

Aber warum c(0) oder geht es um einen beliebigen Punkt?

07.05.2013, 21:07

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sway
Ich dachte, wenn b konstant ist, dann ist die Ableitung von b'=0 und folglich auch das Skalarprodukt oder?

Dann ist nur $\begin{eqnarray*} \bigl(\langle c,b\rangle\bigr)'=\langle c',b\rangle \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Aber warum c(0) oder geht es um einen beliebigen Punkt?

Ja, irgendein Punkt, der garantiert auch in der Ebene liegt, in der wir $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ haben möchten. Naja, $\begin{eqnarray*} c(a) \end{eqnarray*}$ wäre tatsächlich besser gewählt; man weiß ja nicht, ob $\begin{eqnarray*} 0\in[a,b] \end{eqnarray*}$ .

07.05.2013, 21:36

Sway

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Hm, die Binormale steht senkrecht auf der Tangente und Normalen oder? Dann ist das nicht 0??

Verstehe nicht ganz wie ich das c(t) - c(0) verwende, wie kann ich zeigen, dass dies senkrecht zu b steht?

07.05.2013, 21:39

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sway
Hm, die Binormale steht senkrecht auf der Tangente und Normalen oder? Dann ist das nicht 0??

Genau.

Zitat:

Verstehe nicht ganz wie ich das c(t) - c(0) verwende, wie kann ich zeigen, dass dies senkrecht zu b steht?

Das tun wir nicht; wir zeigen lieber, dass $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ stets das gleiche Skalarprodukt mit $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ hat.

Denn für einen Vektor $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ definiert $\begin{eqnarray*} \langle x,n\rangle=C \end{eqnarray*}$ eine Ebene (senkrecht zu $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ).

07.05.2013, 21:53

Sway

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Sorry, jetzt bin ich ein bisschen verwirrt..

Meinst du <c,b> ?

Und was ist x? n für die Normale oder?

07.05.2013, 21:55

Che Netzer

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Die Symbole $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ sollen unabhängig von der Aufgabe sein.
Da war $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ wohl ungünstig gewählt; ich hatte vergessen, dass ihr eure Normalenvektoren kleinschreibt smile

smile

Was ich meine, ist das hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Ebenengleichung#Normalenform
Die zweite Darstellung.

07.05.2013, 22:21

Sway

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Ah ok, jetzt verstehe ich zumindestens wie das zu einer Ebene führt..

Das C steht für eine Konstante oder?

Aber ist <b,c'> auch nicht 0?

07.05.2013, 22:23

Che Netzer

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Zitat:

Original von Sway
Das C steht für eine Konstante oder?

Ja, auf Wikipedia war das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .
Und um zu zeigen, dass etwas konstant ist (hier also das Skalarprodukt), zeigt man, dass die Ableitung Null ist.

Zitat:

Aber ist <b,c'> auch nicht 0?

Doch, das ist Null.
Wieso und wieso hilft das?

07.05.2013, 22:36

Sway

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Also:

$\begin{eqnarray*} (<c,b>)' = <c',b> = 0 \end{eqnarray*}$

Aber wir sagten, doch dass das nicht 0 ist oder?

Dann ist $\begin{eqnarray*} <c,b> = C \end{eqnarray*}$

07.05.2013, 22:37

Che Netzer

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Genau; für irgendein $\begin{eqnarray*} C\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Noch Fragen? smile

smile

07.05.2013, 22:48

Sway

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Hm, viel. warum das gilt:

$\begin{eqnarray*} (<c,b>)' = <c',b> \end{eqnarray*}$

Wird das Skalarprodukt so abgeleitet?

07.05.2013, 22:50

Che Netzer

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Da greift die Leibniz-Regel. Bzw. Produktregel.
Es gilt
$\begin{eqnarray*} \bigl(\langle x,y\rangle\bigr)'=\langle x',y\rangle+\langle x,y'\rangle \end{eqnarray*}$
für Funktionen $\begin{eqnarray*} x,y\colon[a,b]\to\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ .

07.05.2013, 22:57

Sway

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Aaahh, deswegen fällt der "zweite Teil" weg, weil da b abgeleitet wird!

Ich dank dir viel-, viel-, vielmals!!!

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