Partielle Differenzierbarkeit und Stetigkeit

02.05.2013, 19:13

Pauline21

Partielle Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Meine Frage:
Hey zusammen. Zuletzt haben wir ein neues Kapitel angefangen und wir haben zahlreiche Übungsaufgaben bekommen, jedoch tue ich mich schwer daher würde ich mich freuen, wenn mich jemand auf dem Wege des Bearbeitens begleiten mag. Die Aufgabe lautet jedenfalls wie folgt:

Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \mathbb R \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ gegeben durch

$\begin{eqnarray*} f(x, y):=\begin{cases} \frac{x^6+y^5}{x^4+y^4} , & (x, y) \neq (0, 0) \\\ 0, & (x, y)=(0, 0) \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$ Untersuchen Sie, ob $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (0, 0) \end{eqnarray*}$ stetig ist.
$\begin{eqnarray*} b) \end{eqnarray*}$ Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (0, 0) \end{eqnarray*}$ partiell differenzierbar ist, und berechnen Sie die partiellen Ableitungen
$\begin{eqnarray*} c) \end{eqnarray*}$ Bestimmen Sie die Richtungsableitung $\begin{eqnarray*} D_{\frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)^t} f(0, 0) \end{eqnarray*}$ (Sieht komisch aus, stimmt aber so)
$\begin{eqnarray*} d) \end{eqnarray*}$ Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ total differenzierbar?

Meine Ideen:
Eine Funktion heißt stetig wenn in den Funktionswerten keine Sprünge auftreten. Also die Funktion durchgängig ist? Aber wie überprüfe ich das? Doch nicht mit dem Epsilon-Delta?

Dann weiter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt partiell differenzierbar am Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in Richtung $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ , falls die partielle Ableitung

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f }{\partial x_i}(a)= \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \dots, a_{i-1}, a_i + h, a_{i+1}, \dots, a_n) - f(a)}{h} \end{eqnarray*}$

existiert. Man betrachtet also alle Variablen bis auf $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ als konstant und betrachtet die so erhaltene Funktion einer Veränderlichen?

Was mit Richtungableitung gemeint ist weiß ich nicht? Vor allem was dieses komische im Unterbereich zu bedeuten hat. Totale Differenzierbarkeit bedeutet doch, dass die Funktion mehrmals ableitbar ist?

Für Hilfe - Dankeschön (Auch so Danke smile

)

02.05.2013, 20:18

Theend9219

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Also wenn du die Stetigkeit überprüfen willst gilt immer:

$\begin{eqnarray*} |f(x) -f(x_{0})| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ soll der Punkt sein in der sie stetig ist

Da müsstest du nun mal einsetzen

02.05.2013, 20:20

epsilon90

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Hallo,

für die Stetigkeit kann man es mit Epsilon-Delta machen, aber das geht auch einfacher. Man kann sich ansehen, was passiert, wenn eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_{n},y_{n}) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ konvergiert. Stimmen Funktionswert und Grenzwert überein, dann ist die Funktion stetig.

Ja das mit den partiellen Ableitungen ist richtig. Du musst nach x ableitung und y konstant lassen und dann nach y ableiten und x konstant lassen.
Also ist beispielsweise bei $\begin{eqnarray*} g(x,y)=x*y \end{eqnarray*}$ die partiellen Abletiungen.

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial g}{\partial x}=y<br /> <br /> \frac{\partial g}{\partial y}=x \end{eqnarray*}$

02.05.2013, 20:24

Colorado

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Zitat:

Eine Funktion heißt stetig wenn in den Funktionswerten keine Sprünge auftreten. Also die Funktion durchgängig ist? Aber wie überprüfe ich das? Doch nicht mit dem Epsilon-Delta?

Warum nicht? Wäre doch eine Möglichkeit. Die andere das Folgenkriterium Tipp zur Untersuchung im Nullpunkt:
Betrachte $\begin{eqnarray*} {{x^6+y^5}\over{x^4+y^4}}>={{x^6+y^5}\over{2\cdot max(x^4,y^4)}} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Dann weiter $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt partiell differenzierbar am Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ in Richtung $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ , falls die partielle Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f }{\partial x_i}(a)= \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \dots, a_{i-1}, a_i + h, a_{i+1}, \dots, a_n) - f(a)}{h} \end{eqnarray*}$ existiert. Man betrachtet also alle Variablen bis auf $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ als konstant und betrachtet die so erhaltene Funktion einer Veränderlichen?

Genau das heißt das.

Zitat:

Was mit Richtungableitung gemeint ist weiß ich nicht? Vor allem was dieses komische im Unterbereich zu bedeuten hat.

Richtungsableitung ist die Ableitung in eine bestimmte Richtung. Und zwar ist diese Richtung das "komische" im Unterbereich, also der Richtungsvektor [l]\sqrt 2(1,1)^T[\l]. Die Richtungsableitung ist der Anstieg von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in diese Richtung:
$\begin{eqnarray*} D_{\frac{1}{\sqrt{2}}(1, 1)^t} f(0, 0)=\lim_{h \to 0} \frac{f\left(\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}+h\cdot\sqrt{2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\right)-f\left(\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\right)}{h} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Totale Differenzierbarkeit bedeutet doch, dass die Funktion mehrmals ableitbar ist?

Nein, differenzierbar heißt nichts anderes als differenzierbar (im Gegensatz zu "partiell differenzierbar"). D.h. du findest als Ableitung eine lineare Abbildung.

02.05.2013, 20:30

Theend9219

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Und wann nimmt man $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x_{0})| \end{eqnarray*}$ um die Stetigkeit in einem Punkt $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ zu zeigen?? da kann man ja auch abschätzen

02.05.2013, 20:48

Che Netzer

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Zitat:

Original von Theend9219
Also wenn du die Stetigkeit überprüfen willst gilt immer:

$\begin{eqnarray*} |f(x) -f(x_{0})| \end{eqnarray*}$

Was "gilt" denn da?

Zitat:

Original von Colorado
Die andere das Folgenkriterium Tipp zur Untersuchung im Nullpunkt:
Betrachte $\begin{eqnarray*} {{x^6+y^5}\over{x^4+y^4}}>={{x^6+y^5}\over{2\cdot max(x^4,y^4)}} \end{eqnarray*}$ .

Das bringt hier überhaupt nichts.

02.05.2013, 21:02

Theend9219

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upps das gilt bei der Differenzialrechnung...

$\begin{eqnarray*} lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0}}{x-x_{0}} \end{eqnarray*}$

02.05.2013, 21:08

Che Netzer

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Nochmal: Was soll da "gelten"?
Du schreibst hier nur irgendwelche Terme auf.

02.05.2013, 21:12

Theend9219

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Das ist ja nicht irgendein Term..das ist der Differenzierbarkeitsbegriff für reellwertige Funktionen
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f : D \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ auf einer Teilmenge $\begin{eqnarray*} D \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt diffbar in $\begin{eqnarray*} x_{0} \in D \end{eqnarray*}$ , wenn der Grenzwert

(jetzt mein Term)

existiert..

02.05.2013, 21:24

Che Netzer

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Zitat:

Original von Theend9219
Das ist ja nicht irgendein Term..das ist der Differenzierbarkeitsbegriff für reellwertige Funktionen

Egal, ob es nun ein Differentialquotient (ein Differenzierbarkeitsbegriff ist kein Term) ist oder sonstwas – ein Term "gilt" nicht. Aussagen gelten.

02.05.2013, 21:43

Pauline21

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Sei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \mathbb R \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ gegeben durch

$\begin{eqnarray*} f(x, y):=\begin{cases} \frac{x^6+y^5}{x^4+y^4} , & (x, y) \neq (0, 0) \\\ 0, & (x, y)=(0, 0) \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$ Untersuchen Sie, ob $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (0, 0) \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Das mache ich ja dann mit:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \end{eqnarray*}$

Nur wie setze ich jetzt meine Funktion da ein?

05.05.2013, 10:57

Pauline21

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Zitat:

Original von Pauline21
Das mache ich ja dann mit:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \end{eqnarray*}$

Nur wie setze ich jetzt meine Funktion da ein?

Die Funktion ist ja abhängig von zwei Variablen, wie soll das dann funktionieren?

05.05.2013, 15:30

Huggy

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1) Schreib mal die $\begin{eqnarray*} \epsilon -\delta \end{eqnarray*}$ -Definition der Stetigkeit für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x, y) \end{eqnarray*}$ von 2 Variablen in einem Punkt $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0) \end{eqnarray*}$ explizit auf.

2) Spezialisiere die Definition für $\begin{eqnarray*} (x_0, y_0) = (0,0) \end{eqnarray*}$ .

3) Wende die Definition auf die gegebene Funktion an.

4) Erkenne, dass die Darstellung des Punktes $\begin{eqnarray*} (x, y) \end{eqnarray*}$ durch Polarkoordinaten $\begin{eqnarray*} ( r, \varphi) \end{eqnarray*}$ hilfreich sein könnte.

5) Beachte:

$\begin{eqnarray*} |a|\leq |a'| \text { und }|b|\geq |b'| \rightarrow |\frac {a}{b}| \leq \frac {|a'|}{|b'|} \end{eqnarray*}$

6) Suche passende Abschätzungen für Zähler und Nenner

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