Einheiten

02.05.2013, 18:30

donpain

Einheiten

Hallo!

Kann mir jemand bei folgendem Beweis helfen?

Sei $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[i\sqrt{n} ]:=\left\{a+bi\sqrt{n}:a,b\in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} N: \mathbb Z[i\sqrt{n} ] \rightarrow \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} N(a+bi\sqrt{n}):=(a+bi\sqrt{n} )(a-bi\sqrt{n})=a^2 + b^2n \end{eqnarray*}$ .

Und ich will zeigen:
$\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb Z[i\sqrt{n}]^* \Rightarrow N(\alpha)=1 \end{eqnarray*}$

Ansatz:
Sei also $\begin{eqnarray*} \alpha\in\mathbb Z[i\sqrt{n}]^* \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \exists \beta:=c+di\sqrt{n} \in \mathbb Z [i \sqrt{n}]:\alpha\beta=\beta\alpha=1 \end{eqnarray*}$ .

Ich will nun im Prinzip zeigen, dass $\begin{eqnarray*} c+di\sqrt{n}=a-bi\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ , denn dann würde die Behauptung ja folgen.

Durch ausmultiplizieren erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \alpha\beta=(ac-bdn)+(ad+bc)i\sqrt{n}=1\Rightarrow (ad+bc)=0 \text { und } (ac-bdn)=1 \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß nun allerdings nicht, wie ich weiter machen soll, da ich durch Umstellen usw. der Gleichungen keine weiteren Argumente finde.

Über Hilfe wäre ich dankbar.

Liebe Grüsse

02.05.2013, 18:39

watcher

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Hallo,

ich würde einen anderen Weg gehen:
Zeige, dass die Norm multiplikativ ist. d.h. $\begin{eqnarray*} N(\alpha \beta)=N(\alpha)N(\beta) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt die Beh. unmittelbar(!).

02.05.2013, 18:49

donpain

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Hey, danke für deine Antwort!
Da fällt es einem natürlich wie Schuppen von den Augen.
Die Multiplikativität habe ich sogar schon gezeigt.

Dann:
$\begin{eqnarray*} 1=N(1)=N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta) \Rightarrow N(\alpha)=N(\beta)=1 \text {, da N nach }\mathbb N_0 \text{ abbildet.} \end{eqnarray*}$

Dankeschön. Wink

04.05.2013, 11:41

donpain

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Ich würde das Thema gerne nocheinmal aufgreifen, da ich an einer anderen Stelle nicht weiterkomme und dafür keinen neuen Thread eröffnen möchte.

Ich möchte nun zeigen:
$\begin{eqnarray*} 1+2i\sqrt{5} \text{, } 1-2i\sqrt{5}\text{, }3\text{ und }7\text{ sind irreduzible Elemente.} \end{eqnarray*}$

Ich weiß:
Keines der Elemente ist eine Einheit und keines ist 0. Ich muss also noch zeigen: Wenn ich eines der Elemente als Produkt zweier Elemente a und b aus dem Ring darstellen kann, dann ist a oder b gleich 1 oder -1.

Als Hinweis habe ich gegeben:
$\begin{eqnarray*} 3 \cdot 7=(1+2i\sqrt{5})(1-2i\sqrt{5}) \end{eqnarray*}$ und ich soll die Abbildung N verwenden.

Ich sehe allerdings nicht, wie ich damit zum Ziel kommen kann, weil das einzige was mir einfällt, ist über beide Seiten N zu legen und das dann mit der Linearität auseinanderzuziehen, was mich dann aber nicht weiterbringt.

04.05.2013, 11:54

Mulder

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Hier riecht es nach Carl von Ossietzky. Big Laugh

Nimm an, z.B. $\begin{eqnarray*} 1+2i\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ wäre reduzibel. Dann gibt es Nichteinheiten $\begin{eqnarray*} \alpha,\beta \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} 1+2i\sqrt{5}=\alpha \beta \end{eqnarray*}$

Wende die Norm an und führe dies zum Widerspruch. Bedenke: $\begin{eqnarray*} N(\alpha),N(\beta)\neq 1 \end{eqnarray*}$

04.05.2013, 13:00

donpain

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Zitat:

Hier riecht es nach Carl von Ossietzky.

Zitat:

Nimm an, z.B. wäre reduzibel.

Alles klar, dann mal los:
Seien $\begin{eqnarray*} \alpha:=a_1+a_2i\sqrt{n},\beta:=b_1+b_2i\sqrt{n}\in\mathbb Z[i\sqrt{n}]\backslash\left\{ \pm 1\right\} : \alpha\beta=1+2i\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ .
Dann:
$\begin{eqnarray*} \alpha\beta=(a_1b_1-a_2b_2n)+(a_1b_2+a_2b_1)i\sqrt{n}=1+2i\sqrt{5}\Rightarrow n=5 \end{eqnarray*}$
Betrachte:
$\begin{eqnarray*} N(1+2i\sqrt{5})=N(\alpha\beta)=N(\alpha)N(\beta)= 3\cdot7 \text{, da dies die einzige Darstellungsform von 21 ist, wenn } N(\alpha),N(\beta)\neq 1. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow N(\alpha)=a_1^2 +a_2^2\cdot 5=3 \wedge N(\beta)=b_1^2+b_2^2\cdot 5=7 \end{eqnarray*}$
Dann müsste gelten: $\begin{eqnarray*} a_2=0 \end{eqnarray*}$ und damit dann $\begin{eqnarray*} a_1^2=3 \end{eqnarray*}$ , was nicht geht, da $\begin{eqnarray*} a_1\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Widerspruch.

Ist das so in Ordnung?

04.05.2013, 13:05

Mulder

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Ja, so geht's.

(hätte man etwas kompakter gestalten können, aber gut, egal)

04.05.2013, 13:06

donpain

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Danke dir! Dann versuche ich es jetzt einmal für die restlichen 3 Elemente zu zeigen. smile

04.05.2013, 13:34

donpain

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Zitat:

hätte man etwas kompakter gestalten können, aber gut, egal

Ich weiß nicht, wie ich abkürzen könnte. Wenn du die Zeit hast es mir zu zeigen, würde ich mich freuen. Ich lerne gerne dazu. smile

04.05.2013, 14:37

Mulder

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Zitat:

Original von donpain
Dann:
$\begin{eqnarray*} \alpha\beta=(a_1b_1-a_2b_2n)+(a_1b_2+a_2b_1)i\sqrt{n}=1+2i\sqrt{5}\Rightarrow n=5 \end{eqnarray*}$

Das ist unnötig. Oder hast du das benutzt?

Sowieso: Dass n=5 ist, ist Voraussetzung. Der Implikationspfeil am Ende ist also ungünstig. Also am besten weg mit der Zeile.

04.05.2013, 14:57

donpain

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[EDIT] Okay, ich lerne am besten nochmal richtig lesen. Danke für deine Hilfe! Ich habe nicht beachtet dass ich es nur für n=5 zeigen soll. Den folgenden Text einfach ignorieren. Big Laugh

[/EDIT]

Ich verstehe was du meinst. n ist ja fest, das hatte ich nicht realisiert, ich dachte das ist beliebig und wollte somit dann zeigen, dass es auch bei alpha und beta 5 sein muss.

Hier stehe ich aber auch schon vor dem nächsten Problem. Bei 3 (und 7) weiß ich ja nicht, was n ist.
Ich habe jetzt Fallunterscheidungen gemacht:

Es gibt die Zerlegung 1*9 und 3*3. Bei 1*9 bin ich fertig, also betrachten wir 3*3.

1. Fall: n=1
Widerspruch folgt sofort.

2. Fall: n=2
$\begin{eqnarray*} a_1^2+2a_2^2=3 \Rightarrow a_1=1 \wedge a_2=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_1^2+2b_2^2=3 \Rightarrow b_1=1 \wedge b_2=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \alpha\beta\neq 3 \end{eqnarray*}$
Widerspruch

3. Fall: n=3
$\begin{eqnarray*} a_1^2+3a_2^2=3 \Rightarrow a_2=1 \wedge a_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_1^2+3b_2^2=3 \Rightarrow b_2=1 \wedge b_1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \alpha\beta\neq 3 \end{eqnarray*}$
Widerspruch

4. Fall: $\begin{eqnarray*} n \geq 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_1^2+4a_2^2=3 \Rightarrow a_2=0 \Rightarrow a_1^2=3 \end{eqnarray*}$
Widerspruch

Verstehe ich irgendwas falsch? Kommt mir ziemlich unnötig kompliziert vor. Aber 3 und 7 sind ja für jedes natürliche n in dem Ring, deswegen muss ich doch auch zeigen, dass für kein n 3 und 7 irreduzibel sind, oder nicht?

04.05.2013, 15:02

Mulder

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Du bist im Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z [ i \sqrt{5} ] \end{eqnarray*}$ . Du arbeitest überall nur mit n=5.

Edit: Okay. Augenzwinkern

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