Orthonormalbasis positive Determinante

02.05.2013, 21:29

BieneMaja

Orthonormalbasis positive Determinante

Hallo zusammen:

Ich soll zeigen, dass die Abbildung: $\begin{eqnarray*} SO(3) \rightarrow S^{2}=\left\{x\in \mathbb R ^3| x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1 \right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A\rightarrow\ A\cdot e_{1} \end{eqnarray*}$
surjektiv ist
$\begin{eqnarray*} SO(3) \end{eqnarray*}$ sei die Gruppe der speziellen orthogonalen Matrizen.
Mein Ansatz:
Zu $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\in S^{2} \end{eqnarray*}$ findet man mit dem Gram-Schmidt Orthonormalisierungsverfahren zwei Vektoren $\begin{eqnarray*} v,w \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} (x,v,w) \end{eqnarray*}$ eine ONB bilden. Setze dann $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} x_1 & v_1 & w_1 \\ x_2 & v_2 & w_2 \\ x_3 & v_3 & w_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann gilt $\begin{eqnarray*} A\in O(3) \end{eqnarray*}$
Damit $\begin{eqnarray*} A\in SO(3) \end{eqnarray*}$ , muss noch $\begin{eqnarray*} det(A)=1 \end{eqnarray*}$ gelten. Wie kann ich das jetzt zeigen?
Angenommen es gilt $\begin{eqnarray*} det(A)=-1 \end{eqnarray*}$ , kann ich dann $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ so umformen, dass der erste Spaltenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ unverändert bleibt, insgesamt aber die Determinante positiv wird? Denn damit hätte dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ das Urbild $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} x_1 & v_1 & w_1 \\ x_2 & v_2 & w_2 \\ x_3 & v_3 & w_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße Wink

Biene

02.05.2013, 21:53

Colorado

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Zitat:

Angenommen es gilt $\begin{eqnarray*} det(A)=-1 \end{eqnarray*}$ , kann ich dann $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ so umformen, dass der erste Spaltenvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ unverändert bleibt, insgesamt aber die Determinante positiv wird?

Und wie du das kannst!

Die Determininante ist linear in jeder Zeile und Spalte (also eine Multilinearform). D.h. wenn du eine Zeile oder eine Spalte mit einem Skalar $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ multiplizierst, dann multiplizierst du auch die Determinante mit $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

Außerdem gibt es noch eine andere Eigenschaft der Determinante: die Alterniertheit, d.h. beim Vertauschen zweier Zeilen bzw. Spalten kehrt sich das Vorzeichen der Determinante um.

02.05.2013, 22:08

BieneMaja

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super, vielen Dank Colorado! Freude

Das hab ich die ganze Zeit gesucht

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