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02.05.2013, 23:29

hi21

Dgl

Meine Frage:
Hallo leute ich muss das thema dgl lernen daher poste ich wieder eine Aufgabe :

y'' +4y = cos(2x)

charakteristisches Polynom :

a1 = 2i

a2 = -2i

WIe gehe ich weiter vor leute?

Meine Ideen:
gepostet

03.05.2013, 07:23

Kasen75

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Hallo,

damit hast du die Lösung für die homogene DGL:

$\begin{eqnarray*} y_H=C_1 \cdot sin(2x)+C_2 \cdot cos(2x) \end{eqnarray*}$

Die allgemeine Lösung ist ja: $\begin{eqnarray*} \lambda_1=\alpha+j\beta \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \lambda_2 =\alpha-j\beta \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ bei dir gleich 0 ist, ist $\begin{eqnarray*} e^{\alpha x}=1 \end{eqnarray*}$
Deswegen taucht $\begin{eqnarray*} e^{ax} \end{eqnarray*}$ praktisch nicht in der homogenen Lösung auf.

Jetzt kannst du folgenden Störgliedansatz wählen:

$\begin{eqnarray*} y_I=(A \cdot sin(2x)+B \cdot cos(2x)) \cdot x \end{eqnarray*}$

Nun muss man die 1. und 2. Ableitung bilden.

Dann kannst du y und $\begin{eqnarray*} y'' \end{eqnarray*}$ in die Differentialgleichung einsetzen und einen Koeffizientenvergleich durchführen.

Grüße.

03.05.2013, 10:47

hi21

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Die erste Ableitung ist bei mir:

$\begin{eqnarray*} c_1*cos(lx)+d_1*sin(lx)+x*(-c_1*l*sin(lx)+l*d_1*cos(lx) ) \end{eqnarray*}$

Ausgeklammert :

$\begin{eqnarray*} y_p' = cos(lx)*sin(lx)*( c_1 +d_1-x*c_1*l+l*d_1) \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?

Wie leite ich das jetzt genau weiter ab?

03.05.2013, 14:31

Kasen75

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Sieht so aus, dass es stimmt. Meine Ableitung von $\begin{eqnarray*} y_p \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} y_p'=A\cdot sin(2x)+2A \cdot x \cdot cos(2x)+B\cdot cos(2x)-2B\cdot x \cdot sin(x) \end{eqnarray*}$

Ich weiß aber nicht, wieso du nicht gleich für l gleich 2 schreibst. Des Weiteren würde ich nicht ausklammern, da man so summandenweise ableiten kann.

Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} 2A \cdot x \cdot cos(2x) \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} 2A \cdot cos(2x)-4A \cdot x \cdot sin(2x) \end{eqnarray*}$ .
.

Die zweite Ableitung ist im Prinpizip nicht schwieriger als die erste Ableitung, nur aufwändiger.

Ich habe mal vorsichtshalber die Koeffizienten A und B beibehalten, da du nicht hingeschrieben hast, von welchem $\begin{eqnarray*} y_p \end{eqnarray*}$ du ausgehst.

03.05.2013, 14:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von hi21
Ausgeklammert :

$\begin{eqnarray*} y_p' = cos(lx)*sin(lx)*( c_1 +d_1-x*c_1*l+l*d_1) \end{eqnarray*}$

Das stimmt in keinster Weise, da muss ich der Bestätigung von Kasen75 widersprechen: Strukturen wie Produkte $\begin{eqnarray*} \cos(2x)*\sin(2x) \end{eqnarray*}$ tauchen hier nicht auf. unglücklich

Das war's dann aber auch schon mit der Einmischung.

03.05.2013, 15:23

hi21

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Ok Kasen .

Meine 2 Ableitung würde dann so aussehen:

y''_p = $\begin{eqnarray*} -2*c_1*sin(2x) + 2*d_1*cos(2x)+ 1*( -c_1*2*sin(2x) + 2*d_1*cos(2x)+ x* (-c_1*4*cos(2x)-4*d*sin(2x)) \end{eqnarray*}$

Ich hoffe da ist kein Fehler drin.

Stimmts?

03.05.2013, 16:02

Kasen75

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Bis auf das letzte Glied (es fehlt ein x) und ein zwei, drei "Rechtschreibfehler", insbesondere Klammersetzung, stimmt es:

$\begin{eqnarray*} y_p''= -2*c_1*sin(2x) + 2*d_1*cos(2x)+ 1*( -c_1*2*sin(2x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} + 2*d_1*cos(2x)+ x* (-c_1*4*cos(2x))-4*d_1*\textcolor{red}{x}*sin(2x)) \end{eqnarray*}$

@Hal 9000

Danke für den Hinweis.

03.05.2013, 22:47

Hi21

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Ok Kasen wie gehe ich denn genau weiter vor?

Was ist eigentlich mit Hall. Einwand?

03.05.2013, 23:53

Kasen75

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Der Einwand von Hal 9000 war ja, dass du nicht richtig ausgeklammert hast. Wir haben das bis jetzt nicht gebraucht.
Für den übernächsten Schritt musst du aber jeweils sin(2x) und cos(2x) aklammern.

Ich klammere jetzt ersmal den Term oben aus:

$\begin{eqnarray*} y_p'=c_1*cos(2x)+d_1*sin(2x)+x*(-c_1*2*sin(2x)+2*d_1*cos(2x) ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_p'=sin(2x)\cdot (d_1 -2 \cdot x\cdot c_1)+cos(2x)\cdot ( c_1+2 \cdot d_1 \cdot x) \end{eqnarray*}$

So musst du dann auch $\begin{eqnarray*} y_p'' \end{eqnarray*}$ ausklammern.

Aber prinzipiell muss man jetzt $\begin{eqnarray*} y_p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_p'' \end{eqnarray*}$ in die Differentialgleichung einsetzen.
Dann die linke Seite, durch ausklammern, in die Form $\begin{eqnarray*} sin(2x) \cdot (...)+cos(2x)(...) \end{eqnarray*}$ bringen.

Wenn du jetzt gleich auch $\begin{eqnarray*} y_p'' \end{eqnarray*}$ , durch Ausklammern, in die entsprechende Form bringst, dann hast du schon mal eine wichtige Vorarbeit geleistet.
Das würde ich jetzt erstmal machen, da wir uns im Moment sowieso auf der Schiene uns befinden.

04.05.2013, 01:14

hi21

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Zitat:

Original von Kasen75
Bis auf das letzte Glied (es fehlt ein x) und ein zwei, drei "Rechtschreibfehler", insbesondere Klammersetzung, stimmt es:

$\begin{eqnarray*} y_p''= -2*c_1*sin(2x) + 2*d_1*cos(2x)+ 1*( -c_1*2*sin(2x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} + 2*d_1*cos(2x)+ x* (-c_1*4*cos(2x))-4*d_1*\textcolor{red}{x}*sin(2x)) \end{eqnarray*}$

@Hal 9000

Danke für den Hinweis.

Zweite Ableitung ausgeklammert:

$\begin{eqnarray*} sin(2x)*( -4c_1 -4x^2d_1) +cos(2x)*(4d_1-4xc_1) \end{eqnarray*}$

Eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} sin(2x)*( -4c_1 -4x^2d_1) +cos(2x)*(4d_1-4xc_1) \end{eqnarray*}$ +4*( $\begin{eqnarray*} c_1*cos(2x)+d_1*sin(2x) \end{eqnarray*}$ ) = cos(2x)

Harte Aufgabe .

Aber ok was soll ich als nächstes machen?

04.05.2013, 03:37

Kasen75

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Das rote x war doch nicht richtig. Finger1

Statt

Zitat:

Original von Kasen75

$\begin{eqnarray*} y_p''= -2*c_1*sin(2x) + 2*d_1*cos(2x)+ 1*( -c_1*2*sin(2x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} + 2*d_1*cos(2x)+ \textcolor{blue}{x}* (-c_1*4*cos(2x))-4*d_1*\textcolor{red}{x}*sin(2x)) \end{eqnarray*}$

muss es dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} y_p''= -2*c_1*sin(2x) + 2*d_1*cos(2x)+ 1*( -c_1*2*sin(2x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} + 2*d_1*cos(2x)+ x *(-c_1*4*cos(2x))-4*d_1 *sin(2x)) \end{eqnarray*}$

Bis auf meinen kleinen Fehler, den du eingearbeitet hast, stimmt deine Gleichung fast.

Der Ansatz war ja: $\begin{eqnarray*} y_I=(A \cdot sin(2x)+B \cdot cos(2x)) \cdot x \end{eqnarray*}$

Deswegen muss der zweite Teil noch mit x multipliziert werden. Aber sonst sehr richtig. Freude

$\begin{eqnarray*} sin(2x)*( -4c_1 -4xd_1) +cos(2x)*(4d_1-4xc_1)+4* \bigg( c_1*cos(2x)+d_1*sin(2x) \bigg)*x=cos(2x) \end{eqnarray*}$

Jetzt noch weiter zusammenfassen, sodass auf der linken seite nur noch $\begin{eqnarray*} cos(2x)(...)+cos(2x)(...) \end{eqnarray*}$ steht.

Dann kannst du die Koeffizienten vergleichen. Auf der rechten Seite ist der Koeffizient von cos(2x) gleich 1 und von sin(2x) gleich 0. Diese Werte kannst du dann mit den jeweiligen Klammerausdrücken vergleichen und den jeweiligen Wert für $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

04.05.2013, 09:58

Hi21

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Ich hab's mal nochmal ausgeklammert .

Dann kürzt sich was weg .

y' ' = sin(2x)*(-4c_1 ) + cos(2x)* 4d_1 = cos(2x)

Jetzt wird es ein wenig zu kompliziert für mich ?

Woher weiß ich denn was ich zu was gleich setzen soll ?

Ich hoffe ich habe nicht wieder einen Fehler eingebaut.

04.05.2013, 13:50

Kasen75

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Das ist alles sehr richtig. Freude

Nur das y' würde weglassen, da du die partikuläre Lösung $\begin{eqnarray*} y_p \end{eqnarray*}$ suchst.

$\begin{eqnarray*} sin(2x)*(-4c_1 ) + cos(2x)* 4d_1 = cos(2x) \end{eqnarray*}$

Wie schon angedeutet machst du jetzt einen Koeffizientenvergleich.
Deswegen verdeutliche ich nochmal die vorhandenen Koeffizienten auf der rechten Seite:

$\begin{eqnarray*} (\textcolor{red}{-4c_1} )\cdot sin(2x) +\textcolor{green}{4d_1} \cdot cos(2x) = \textcolor{green}{1}\cdot \cos(2x)+\textcolor{red}{0} \cdot sin(2x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{0} \cdot sin(2x) \end{eqnarray*}$ kann man auf der rechten Seite addieren, da sich am Term an sich nichts ändert.
Es wird im Prinzip nur eine 0 addiert. Die 0 ist ja ein neutrales Element bezüglich der Addition.

Vergleicht man die Koeffizienten, ergibt sich dieses kleine "Gleichungssystem":

$\begin{eqnarray*} -4c_1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4d_1=1 \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du die konkreten Werte für $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d_1 \end{eqnarray*}$
bestimmen.

Die partikuläre Lösung ist dann $\begin{eqnarray*} y_p=(c_1\cdot cos(2x) +d_1 \cdot sin(2x)) \cdot x \end{eqnarray*}$

04.05.2013, 14:03

hi21

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Aha ok.

$\begin{eqnarray*} c_1= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d_1= \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_p = \frac{1}{4} *sin(2x)*x \end{eqnarray*}$

Wäre das ergebnis so richtig?

Der letzte schritt ist ja immer :

$\begin{eqnarray*} y(x) = y_h +y_p \end{eqnarray*}$

Was setze ich da genau für y-h ein ?

Das macht mir immer probleme.

04.05.2013, 14:23

Kasen75

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Die homogene Lösung hatte ja ich in meinem ersten Beitrag gepostet.
$\begin{eqnarray*} y_h \end{eqnarray*}$ ist immer die Lösung der homogenen Differentialgleichung.

Ansonsten stimmt dein $\begin{eqnarray*} y_p \end{eqnarray*}$ .

04.05.2013, 14:44

hi21

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Danke Kasen

04.05.2013, 14:47

Kasen75

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Gerne.

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