Jacobi Matrizen -> Abbildungen

03.05.2013, 07:02

Womanpower

Jacobi Matrizen -> Abbildungen

Meine Frage:
Guten Morgen. Ich muss Jacobi-Matrizen der folgenden Abbildungen berechnen:

$\begin{eqnarray*} a) f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R^2, (x, y) \mapsto arctan\bigg(\frac{x+y}{1-xy}\bigg) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y \neq \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ;

$\begin{eqnarray*} b) g: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^3, (x, y) \mapsto (xy, cosh(xy), ln(1+x^2)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a) h: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3, (x, y, z) \mapsto (3x^2 y^2 z+z^2 x, 3x sin(x^2 +y), e^{xyz}) \end{eqnarray*}$ ;

Meine Ideen:
Die Jacobi-Matrix ist ja einfach die Matrix bestehend aus den partiellen Ableitungen also:

$\begin{eqnarray*} J_f(a) := \begin{pmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_1}{\partial x_2}(a) & \ldots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(a) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(a) & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}(a) & \ldots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} (a) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Probleme habe ich bei der $\begin{eqnarray*} a) \end{eqnarray*}$ , weil ich nicht weiß ich da ableiten soll. $\begin{eqnarray*} b) & c) \end{eqnarray*}$ versuche ich mal und melde mich.

Vielen Dank im Voraus.

03.05.2013, 07:56

Theend9219

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RE: Jacobi Matrizen -> Abbildungen
Das erste kannst du mit der Kettenregel ableiten

$\begin{eqnarray*} arctan(\frac{x+y}{1-xy})<br /> <br /> arctan(u)' =\frac{1}{1+u^{2}} \end{eqnarray*}$

und die innere Ableitung nach x ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{(1*(1-xy))-((x+y)*(-y))}{(1-xy)^{2}} = \frac{y^{2}+1}{(-1+xy)^{2}} \end{eqnarray*}$

Jetzt multiplizieren der inneren und äußeren Ableitung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+(\frac{x+y}{1-xy})^{2}} * \frac{y^2+1}{(-1+xy)^{2}} \end{eqnarray*}$
Und das ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{2}+1} \end{eqnarray*}$

Liebe Grüßßßeee

05.05.2013, 09:19

Womanpower

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RE: Jacobi Matrizen -> Abbildungen
Danke sehr. Bei der $\begin{eqnarray*} b) \end{eqnarray*}$ habe ich Probleme mit dem $\begin{eqnarray*} cosh(xy) \end{eqnarray*}$ das kann man ja mittels e-Funktion umschreiben aber wenn im Argument nur eine Variable ist. Jedenfalls weiß ich nicht ob es auch mit zwei Variablen geht?

Zur $\begin{eqnarray*} c) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} J_f (h)=\begin{pmatrix} 6xy^3 & 9x^2y^2z & 3x^2+y^2+2zx \\ 3(sin(x^2+y)+2cos(x^2+)) & 3xcos(x^2+y) & 0 \\ yze^{xyz} & xze^{xyz} & xye^{xyz} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Müsste stimmen?

05.05.2013, 11:15

Womanpower

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RE: Jacobi Matrizen -> Abbildungen
Ich habe jetzt bei der $\begin{eqnarray*} b) \end{eqnarray*}$ einfach angenommen, dass $\begin{eqnarray*} cosh(xy)=\frac{1}{2}(e^{-xy}+e^{xy}) \end{eqnarray*}$ dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} J_g(x, y)\begin{pmatrix} y & x \\ \frac{1}{2}(-ye^{-xy}+ye^{xy}) & \frac{1}{2}(-xe^{-xy}+xe^{xy}) \\ \frac{2x}{x^2+1} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zur $\begin{eqnarray*} c) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} J_h(x, y, z)=\begin{pmatrix} 6xy^3 & 9x^2y^2z & 3x^2+y^2+2zx \\ 3(sin(x^2+y)+2cos(x^2+)) & 3xcos(x^2+y) & 0 \\ yze^{xyz} & xze^{xyz} & xye^{xyz} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(Habe bei c) nochmal die Bezeichnung korrigiert)

Stimmt aber so bis jetzt alles?

06.05.2013, 09:24

Womanpower

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RE: Jacobi Matrizen -> Abbildungen

Zitat:

Original von Theend9219
Das erste kannst du mit der Kettenregel ableiten

$\begin{eqnarray*} arctan(\frac{x+y}{1-xy})<br /> <br /> arctan(u)' =\frac{1}{1+u^{2}} \end{eqnarray*}$

und die innere Ableitung nach x ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{(1*(1-xy))-((x+y)*(-y))}{(1-xy)^{2}} = \frac{y^{2}+1}{(-1+xy)^{2}} \end{eqnarray*}$

Jetzt multiplizieren der inneren und äußeren Ableitung

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+(\frac{x+y}{1-xy})^{2}} * \frac{y^2+1}{(-1+xy)^{2}} \end{eqnarray*}$
Und das ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{2}+1} \end{eqnarray*}$

Liebe Grüßßßeee

Dort ist ein Fehler im Nenner wurden die Zeichen verdreht. Korrekt müsste es $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+(\frac{x+y}{1-xy})^{2}} * \frac{y^2+1}{(1-xy)^{2}} \end{eqnarray*}$

ich komme jedoch nie auf das Ergebnis wenn ich dies ausmultipliziere also auf das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{2}+1} \end{eqnarray*}$ Hab auch mehrere Varianten gemacht. Zuerst Erweitern und dann Kürzen und umgekehrt und komme nicht auf das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^{2}+1} \end{eqnarray*}$

Ich bleibe bei folgendem Schritt hängen:
$\begin{eqnarray*} \frac{y^2+1}{x^2+y^2+x^2y^2+1} \end{eqnarray*}$

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