Fibonacci Zahlen bestimmen, durch gegeben Exponentialanssatz

03.05.2013, 09:47

Dini20

Fibonacci Zahlen bestimmen, durch gegeben Exponentialanssatz

Meine Frage:
Ich weiß nicht so recht was ich mit den Aufgabenstellungen anfangen soll , bzw wie ich das Lambda n interpretieren soll.

Meine Ideen:
Was die Fibonacci Zahlen bzw die Fibonacci Reihe ist , ist mir bekannt (0,1,1,2,3,5,8....) aber ich weiß bei a schon nicht wirklich wie das gemeint ist mit $\begin{eqnarray*} f_{n} : \lambda ^{n} \end{eqnarray*}$ , da vorher ja groß Fn gegeben wird.

Bitte um Hilfe/Erklärung.
lg Dini20

03.05.2013, 09:58

Grautvornix

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RE: Fibonacci Zahlen bestimmen, durch gegeben Exponentialanssatz
Eigentlich enthält die Aufgabenstellung doch eine ziemlich konkrete Anleitung.

Lediglich ein kleiner Tippfehler in Teil a.) ist da anzumäkeln:

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}Bestimmen Sie durch den \it Exponentialansatz $F_n:=\lambda^n\ldots$ \begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Jetzt setze diesen Ansatz doch einfach mal in die Rekursionsformel ein und löse die entstehende quadratische Gleichung!

03.05.2013, 10:04

HAL 9000

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Ich denke nicht, dass das ein Tippfehler ist: Vermutlich will man nur die allgemeine Differenzengleichung

$\begin{eqnarray*} f_{n+2} = f_{n+1}+f_n \end{eqnarray*}$

(d.h. ohne festgelegte Anfangswerte) von dem konkreten AWP (=Anfangswertproblem)

$\begin{eqnarray*} F_{n+2} = F_{n+1}+F_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F_0=0,F_1=1 \end{eqnarray*}$

symbolisch abgrenzen: Denn letzteres hat keine Lösung in Form der reinen Basislösung $\begin{eqnarray*} \lambda^n \end{eqnarray*}$ , sondern erst eine in Struktur der Linearkombination von Basislösungen, was ja dann Bestandteil der Teilaufgabe b) ist.

03.05.2013, 10:14

Dini20

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RE: Fibonacci Zahlen bestimmen, durch gegeben Exponentialanssatz

Zitat:

Original von Grautvornix
Eigentlich enthält die Aufgabenstellung doch eine ziemlich konkrete Anleitung.

Lediglich ein kleiner Tippfehler in Teil a.) ist da anzumäkeln:

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}Bestimmen Sie durch den \it Exponentialansatz $F_n:=\lambda^n\ldots$ \begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

Jetzt setze diesen Ansatz doch einfach mal in die Rekursionsformel ein und löse die entstehende quadratische Gleichung!

Danke für die schnelle Antwort.

Aber bin mir immernoch nicht im klaren wie mir das weiterhilft , wenn ich jetzt Fn+2 := Fn+1 + Lambda^n da stehen habe :/

03.05.2013, 10:20

Grautvornix

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RE: Fibonacci Zahlen bestimmen, durch gegeben Exponentialanssatz
Ähm, beachte: $\begin{eqnarray*} F_{n+2}=\lambda^{n+2} \end{eqnarray*}$

03.05.2013, 10:20

Theend9219

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hey HAL9000 Big Laugh

,

können wir nicht auch folgendes nutzen:

$\begin{eqnarray*} \lambda^{n+2} = \lambda^{n+1}+\lambda^{n} \end{eqnarray*}$

und wenn wir da jetzt $\begin{eqnarray*} n= 0 \end{eqnarray*}$ einsetzen erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} \lambda^{2} =\lambda^{1}+1 \end{eqnarray*}$

03.05.2013, 10:26

Dini20

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RE: Fibonacci Zahlen bestimmen, durch gegeben Exponentialanssatz

Zitat:

Original von Grautvornix
Ähm, beachte: $\begin{eqnarray*} F_{n+2}=\lambda^{n+2} \end{eqnarray*}$

Ich versteh schon wie du das meinst , aber ich verstehe nicht wie ich auf den index 1 und 2 bei a) also Lambda^n mit index 1 und 2 kommen soll, es steht doch bei keinem Lambda der Gleichung was im Index.

03.05.2013, 10:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Theend9219
können wir nicht auch folgendes nutzen:

$\begin{eqnarray*} \lambda^{n+2} = \lambda^{n+1}+\lambda^{n} \end{eqnarray*}$

und wenn wir da jetzt $\begin{eqnarray*} n= 0 \end{eqnarray*}$ einsetzen erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} \lambda^{2} =\lambda^{1}+1 \end{eqnarray*}$

Ja, das führt zur Bestimmungsgleichung. Der Grundgedanke ist aber eher, dass $\begin{eqnarray*} \lambda^{n+2} = \lambda^{n+1}+\lambda^{n} \end{eqnarray*}$ nicht nur für $\begin{eqnarray*} n=0 \end{eqnarray*}$ , sondern für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ zur Bestimmungsgleichung

$\begin{eqnarray*} \lambda^2 = \lambda+1 \end{eqnarray*}$

führt, einfach indem man durch $\begin{eqnarray*} \lambda^{n} \end{eqnarray*}$ dividiert.

03.05.2013, 10:29

Theend9219

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Und bei dem zweiten Teil kannman die Konstanten c, d so anpassen,
dass die Anfangsbed. fur die Fibonacci-Zahlen erfüllt sind.

Und man erhält folgendes Gleichungssystem..

$\begin{eqnarray*} <br /> 0 = c+d<br /> 1=c\lambda+d(1-\lambda)<br /> <br /> c= \frac{1}{2\lambda-1} =\frac{1}{\sqrt{5}}= -d \end{eqnarray*}$

03.05.2013, 10:35

Dini20

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Wie kommst du denn auf c= 1/ Wurzel 5 ?? Lambda is doch nicht keine feste Zahl oder irre ich mich da :/

03.05.2013, 10:49

Grautvornix

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Dann lies Dir noch mal die Aufgabenstellung durch, die - wie eingangs erwähnt - doch eine recht konkrete Anleitung gibt und z.B. diese Frage beantwortet.

Im übrigen bin ich jetzt raus, denn viele Köche verderben den Brei.

03.05.2013, 10:51

HAL 9000

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Nein, bleib mal: Ich hatte nur noch die konkret an mich gerichtete Frage beantwortet, bin sonst aber nicht interessiert, hier weiterzumachen.

03.05.2013, 16:24

Dini20

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Also bekomme ich bei a) heraus $\begin{eqnarray*} \lambda _{1}^{n} = \frac{1+\sqrt{5} }{2} \lambda _{2}^{n} = -\frac{1+\sqrt{5} }{2} \end{eqnarray*}$

und bei b) $\begin{eqnarray*} F_{n}= \frac{1}{\sqrt{5} } \lambda _{1}^{n} - \frac{1}{\sqrt{5} } \lambda _{2}^{n} \end{eqnarray*}$

oder liege ich da Falsch ?

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