einfache Gruppe unendlicher Ordnung, Untergruppe, Index

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03.05.2013, 15:08	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
einfache Gruppe unendlicher Ordnung, Untergruppe, Index Meine Frage: Hallo Leute, ich soll folgendes zeigen, hab aber noch keinen Ansatz: $\begin{eqnarray} \|G\|=\infty \end{eqnarray}$ und G einfach, so hat G keine Untergruppe $\begin{eqnarray} U \leq G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1< [G:U] < \infty \end{eqnarray}$ Was ich weiß: da G einfach ist, sind 1 und G selber die einzigen Normalteiler. Die Mächtigkeit von $\begin{eqnarray} [G:U] \end{eqnarray}$ ist die Anzahl der Linksnebenklassen $\begin{eqnarray} gU \end{eqnarray}$ die es gibt. Meine Ideen: Also ich muss ja gewiss einen Widerspruchbeweis führen oder? Danke für die Hilfe
03.05.2013, 18:29	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, G operiert of G/U (Menge der (Links-)Nebenklassen), das induziert einen Homomorphismus $\begin{eqnarray} G \to S_n \end{eqnarray}$ , n ist der Index. Der Kern ist einfach zu bestimmen und er liegt in U (!)
03.05.2013, 19:14	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Also in $\begin{eqnarray} X = G/U \end{eqnarray}$ sind ja die Linksnebenklasse, also Elemente der Form: $\begin{eqnarray} gU \end{eqnarray}$ Ich kann mir nur die naheliegende Abbildung: $\begin{eqnarray} \pi: G \to G/U \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g \mapsto gU \end{eqnarray}$ überlegen. Wie komme ich jetzt auf einen Homomorphismus von $\begin{eqnarray} G \to S_{n} \end{eqnarray}$ ?
03.05.2013, 19:18	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Begriff (Gruppen-)Operation ist bekannt? Wenn nicht: nachschauen.
03.05.2013, 19:25	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
bekannt ja, wirklich verinnerlicht habe ich ihn vielleicht noch nicht. Die Abbildung $\begin{eqnarray} pi \end{eqnarray}$ ist ja ein Homom. Und $\begin{eqnarray} Bild(\pi) = G/U \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Kern(\pi) = U \end{eqnarray}$ das ist mir auch beides klar.
03.05.2013, 19:28	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Abbildung ist keine Gruppenoperation und hat mit der Aufgabe gar nichts zu tun.
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03.05.2013, 19:44	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay neuer Versuch. Also $\begin{eqnarray} \pi : G \to S_X \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} g \mapsto \pi_g \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \pi_{g_0}: X \to X = G/U \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} gU \mapsto g_0gU \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} g_0 \end{eqnarray}$ durch die Abbildung $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ festgelegt wurde. besser? Von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ muss man jetzt den Kern betrachten? Es gilt ja dann: $\begin{eqnarray} Kern(\pi) = \bigcap_{x \in X} Stab_G(x) \end{eqnarray}$
03.05.2013, 19:54	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
03.05.2013, 20:12	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich hab im Skript ein gutes Beispiel dafür gefunden: Ich weiß jetzt, dass $\begin{eqnarray} Kern(\pi) \end{eqnarray}$ eine Teilmenge von U ist und dass dieser Kern ein Normalteiler von G ist. Ist das jetzt ein Widerspruch zur Vorraussetzung, dass die Gruppe einfach ist?? Ich seh noch nicht, wo das hinführen soll
03.05.2013, 20:15	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtige Erkenntnis. Ein Widerspruch ist da noch nicht, einfache Gruppen haben Normalteiler. Für den Rest verweise ich auf meinen ersten Post.
03.05.2013, 20:30	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
ja einfache Gruppen haben Normalteiler, aber ja nur die 1 und die Gruppe selber.. Wenn der Index [G:U ]endlich wäre, dann gäbe es ja nur z.B. n-viele Elemente in G/U. Ich habe aber nur einen Homomorphis, von G nach X = G/U, dann weiß ich ja noch nicht, dass auch G/U unendlich viele Elemente hat, ich weiß ja nicht, dass es eine Isomorphismus ist.
03.05.2013, 21:20	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn ich weiß, dass es in U noch einen Normalteiler gibt, dann muss dieser Normalteiler entweder die 1-Untergruppe sein oder G selber, denn da G einfach ist, sind das die einzigen Normalteiler. Wie baue ich diesen Widerspruch, ich brauche da echt noch etwas Hilfe! Wenn ich mal Annehme, der Index $\begin{eqnarray} [G:U] = n \end{eqnarray}$ sei endlich. Dann hat die Menge $\begin{eqnarray} G/U \end{eqnarray}$ n Elemente und die Menge $\begin{eqnarray} S_{G/U} \end{eqnarray}$ ,diese lässt ja die Linksnebenklassen kommutieren, hätte dann n! Elemente.
04.05.2013, 08:16	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, was ist denn nun der Kern? Es gibt ja nur 2 Möglichkeiten: $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ . Du musst jetzt mal aufhören um den heißen Brei herzumzureden, sondern dich entscheiden. (natürlich basierend auf logischen Schlüssen)
04.05.2013, 08:58	Crossposting	Auf diesen Beitrag antworten »
Crosspost! Siehet auf dem Matheplaneten...
04.05.2013, 12:16	watcher	Auf diesen Beitrag antworten »
@crossposting: Liked for "siehet". Erstmal der Link: http://www.matheplanet.com/matheplanet/n...hp?topic=181243 Zweitens stimme ich mit Martin_infinite überein, dass das hier kein Crosspost ist (wer sich meine Historie hier ansieht wird feststellen, dass ich Crossposts verabscheuungswürdige). Ich bin mir ziemlich sicher, dass hier schlicht zwei Leute aus der selben Vorlesung ähnliche Probleme haben.
04.05.2013, 14:16	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu der selben Erkenntnis wie watcher sind wir (das Moderatorenteam) auch gekommen, daher läuft der Thread hier jetzt hoffentlich normal weiter.
05.05.2013, 22:42	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh hier hat sich ja viel getan während meiner Abwesenheit. Also ich versichere hiermit noch ein Mal, dass ich noch nie etwas auf einer anderen Seite gepostet habe Also noch mal zur Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ eine einfache Gruppe und $\begin{eqnarray} \|G\| = \infty \end{eqnarray}$ dann ist zu zeigen, dass es keine Untergruppe $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1<[G:U]<\infty \end{eqnarray}$ gibt. Beweis: Durch $\begin{eqnarray} \pi : G \to S_{G/U} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} g \mapsto \pi_g \end{eqnarray}$ wird ein Gruppenhomom. definiert, dessen Kern ein Normalteiler von $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ ist. Da $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ einfach ist kommen dafür nur $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ in Frage. Annahme es gäbe eine Untergruppe $\begin{eqnarray} U \leq G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1<[G:U]=n<\infty \end{eqnarray}$ Dann gibt es $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Nebenklassen und $\begin{eqnarray} \|S_{G/U}\| = n! \end{eqnarray}$ Fall1: Sei $\begin{eqnarray} Kern(\pi) = 1 \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ injektiv. Da es aber in $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ unendlich viele Elemente hat und in $\begin{eqnarray} S_{G/U} \end{eqnarray}$ nur $\begin{eqnarray} n! \end{eqnarray}$ viele, kann $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ nicht injektiv sein. Fall2: (???) Sei $\begin{eqnarray} Kern(\pi) = G \end{eqnarray}$ Was ist denn: $\begin{eqnarray} [G:G] \end{eqnarray}$ bei unendlichen Menge? Wäre die Menge endlich, dann wäre ja $\begin{eqnarray} [G:G] = 1 \end{eqnarray}$ , und ich hätte einen Widerspruch, da $\begin{eqnarray} 1<[G:U]<\infty \end{eqnarray}$ angenommen wurde. Es wird aber wohl $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ rauskommen, also in jedem Falle ein Widerspruch. Also kann $\begin{eqnarray} G \end{eqnarray}$ keine Untergruppe mit endlichem Index größer als 1 haben. Danke für die Mühe
06.05.2013, 09:44	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Trivialerweise gilt immer $\begin{eqnarray} [G:G] =1 \end{eqnarray}$ . Aber für den 2. Fall fehlt trotzdem noch die Folgerung, dass aus $\begin{eqnarray} Kern(\pi) = G \end{eqnarray}$ auch sofort $\begin{eqnarray} U = G \end{eqnarray}$ folgt. Ist dir das klar und du hast es deswegen gar nicht mal erwähnt?
06.05.2013, 11:43	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich dachte, dies wäre dann klar, deshalb habe ich ja überhaupt erst: $\begin{eqnarray} [G:G] \end{eqnarray}$ und nicht mehr $\begin{eqnarray} [G:U] \end{eqnarray}$ geschrieben. Aber dann habe ich ja jetzt endlich meinen Widerspruch, da laut $\begin{eqnarray} tmo \end{eqnarray}$ immer (also auch für unendliche Gruppen) $\begin{eqnarray} [G:G] = 1 \end{eqnarray}$ gilt und ich ja: $\begin{eqnarray} 1<[G:U]< \infty \end{eqnarray}$ gefordert hatte.

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