Doppelpost! Lösungsmenge eines Gleichungssystems gesucht

03.05.2013, 16:48

Lotte16

Lösungsmenge eines Gleichungssystems gesucht

Meine Frage:
Normale Gleichungssysteme lösen kann ich, nur hier hab ich irgendwie ein Problem mit.

-x1 + 2x2 - 2x3 + x4 = 5

2x2 + x3 + x4 = 4

2x1 - 2x2 + 5x3 - x4 = -6

x1 + 3x3 = -1

Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte! :/

Meine Ideen:
Wenn ich x1 eliminiere kommen da nur noch die gleichen Gleichungen raus. Soweit ich weiß, muss ich die dann von einander abziehen und habe schließlich mehrfach 0=0 raus. Leider habe ich keine Ahnung, was ich dann machen muss und ob das überhaupt richtig ist...
Die Lösungsmenge ist auf jeden Fall nicht genau definierbar und ich habe den Tipp bekommen, dass man zwei Parameter zur Beschreibung der Lösungsmenge braucht.

03.05.2013, 17:16

jsoef1

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RE: Lösungsmenge eines Gleichungssystems gesucht
nicht jedes gleichungssystem ist lösbar.
du hast wohl so eins erwischt.
google mal nach "gleichungssystem lösbarkeit".

03.05.2013, 17:33

Kasen75

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RE: Lösungsmenge eines Gleichungssystems gesucht

Zitat:

Original von Lotte16
Meine Frage:

Meine Ideen:
Wenn ich x1 eliminiere kommen da nur noch die gleichen Gleichungen raus. Soweit ich weiß, muss ich die dann von einander abziehen und habe schließlich mehrfach 0=0 raus. Leider habe ich keine Ahnung, was ich dann machen muss und ob das überhaupt richtig ist...
Die Lösungsmenge ist auf jeden Fall nicht genau definierbar und ich habe den Tipp bekommen, dass man zwei Parameter zur Beschreibung der Lösungsmenge braucht.

z

Edit: fettgedrucktes korrigiert.
Das ist richtig. Die Gleichungen sind linear abhängig sind. Setzte z.B. $\begin{eqnarray*} x_1=s \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=t \end{eqnarray*}$

Dann kannst du $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_4 \end{eqnarray*}$ mit Hilfe von s und t ausdrücken.

@Josef1

Das Gleichungssystem ist lösbar. Nur, dass die Gleichungen linear abhängig.

Bitte mach weiter.

Grüße.

03.05.2013, 17:38

Gast11022013

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Ja, dein LGS ist mehrdeutig Lösbar. Du solltest bei deinen Umformungsschritten auf folgende Form gelangen, wenn du die schreibweise in einer Matrix verwendest:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 & 2 & -2 & 1&|5\\ 0& 2 & 1 & 1&|4 \\0& 2 & 1 & 1&|4\\0& 2 & 1 & 1&|4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Formst du nun weiter in die Dreiecksform um, so erhältst du eine Matrix vom Rang 2 und ist damit mehrdeutig lösbar.
Wähle deshalb 2 Parameter, meinetwegen $\begin{eqnarray*} x_4=r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3=s \end{eqnarray*}$ und löse das Gleichungssystem in Abhängigkeit dieser.

Edit: Okay, dass hat sich nun mit Kasens Beitrag überschnitten, ich wollte auch lediglich darauf eingehen, dass dieses LGS nicht unlösbar ist.

03.05.2013, 22:30

Lotte16

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Hab das bis jetzt gerechnet. Ist das richtig und bin ich jetzt fertig? Bis zur ersten Lösungsmenge bin ich ohne Hilfe gekommen. Das Einbauen von den Parametern war da das Problem, aber die bringen doch eigentlich nur, dass mein Ergebnis bzw. meine Lösungsmenge knapper zusammengefasst werden kann oder?

Also ab dem Schritt den du eben genannt hast:

-1 2 -2 1 =5
2 1 1 =4
0=0
0=0

x1 = 2x2 - 2x3 + x4 + 5
x2 = -0.5x3 - 0.5x4 +2
x3 = x3
x4 = x4

Und jetzt mit den Parameter x3=t und x4=s

x1 = 2(-0.5t-0.5s+4) + 2t + s + 5
= -t - s + 4 + 2t + s + 5
= t + 9
x2 = -0.5t - 0.5s + 2
x3 = t
x4 = s

L = {(x1,x2,x3,x4)T | (x1,x2,x3,x4)T ) = (9/2/0/0) + t(1/-1/2/1/0) + s(0/-0.5/0/1)}

04.05.2013, 00:46

opi

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Siehe hier
Geschlossen.

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