Kreuzprodukt als lineare Abbildung

03.05.2013, 17:22

Schinken

Kreuzprodukt als lineare Abbildung

Meine Frage:
Hallo liebe Leute,
ich habe folgende Aufgabe (die wahrscheinlich relativ leicht zu lösen ist), aber ich bin irgendwie... dumm unglücklich

"Betrachten Sie für $\begin{eqnarray*} omega \in \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ (wie stelle ich ein omega in Latex dar?..) die Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^{3} \Rightarrow \mathbb R ^{3}, f(x) = omega \times X \end{eqnarray*}$ .
(1) Zeigen Sie, dass f linear ist.
(2) Berechnen Sie die Matrix F von f bezüglich der Standardbasis $\begin{eqnarray*} \left\{ e_{1} e_{2} e_{3} \right\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wie gesagt, ich hab keine Ahnung was ich genau machen soll.. Matrizen berechnen ist normalerweise kein Problem, aber sehe irgendwie keine...
Ich habe hier das Kreuzprodukt als Funktion in $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray*}$ , aber wo ist denn da meine Matrix? Und die Linearität ist doch eigentlich offensichtlich?

Lg, Schinken =(

03.05.2013, 18:08

Iorek

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RE: Kreuzprodukt als lineare Abbildung

code:
1:	\omega

$\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$

Also haben wir eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^3\rightarrow\mathbb R^3,~f(x)=\omega\times x \end{eqnarray*}$ mit festem $\begin{eqnarray*} \omega\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a\times b \end{eqnarray*}$ das Kreuzprodukt bezeichnet.

Zitat:

Original von Schinken
Und die Linearität ist doch eigentlich offensichtlich?

Erfahrungsgemäß sollte es gerade dann strengst formal nachgewiesen werden, da es meistens ein Zeichen für eine Aushilfsbegründung der Form "Wird schon irgendwie so stimmen" ist. Begründungen wie "trivial" oder "offensichtlich" sind den Professoren vorbehalten, die den Beweis damit als "leichte Übung" an die Studenten abtreten.

Warum sollte die Linearität denn offensichtlich sein? Und wenn sie so offensichtlich ist, dann sollte es dir ja keine Probleme machen, diese nachzuweisen.

03.05.2013, 19:11

Schinken

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Ok, dann mal zur 1:
Linear heißt allgemein ja, dass
$\begin{eqnarray*} f(v_{1} + v_{2}) = f(v_{1}) + f(v_{1}) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f(\lambda v) = \lambda f(v) \end{eqnarray*}$

Also rechne ich im diesem Beispiel doch dann:
1.
$\begin{eqnarray*} f(x_{1} + x_{2}) = \omega \times (x_{1} + x_{2}) = \omega \times x_{1} + \omega \times x_{2} = f(x_{1}) + f(x_{2}) \end{eqnarray*}$

2.
$\begin{eqnarray*} f(\lambda x) = \omega \times (\lambda x) = \lambda (\omega \times x) = \lambda f(x) \end{eqnarray*}$
-> Aber das ist doch jetzt weder gezeigt, noch bewiesen.. nur angewandt.. und was mache ich denn jetzt? verwirrt

03.05.2013, 19:13

Iorek

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Ihr werdet das Kreuzprodukt ja definiert haben, wende diese Definition an, um $\begin{eqnarray*} \omega \times (x_1+x_2) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \omega\times x_1+\omega\times x_2 \end{eqnarray*}$ zu berechnen.

03.05.2013, 19:18

Schinken

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Hab ich doch?...

03.05.2013, 19:21

Iorek

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Ihr habt also das Kreuzprodukt als $\begin{eqnarray*} \omega\times (x_1+x_2)=\omega\times (x_1+x_2) \end{eqnarray*}$ ? Das mag ich nicht glauben. Irgendwo solltet ihr eine Definition aufgeschrieben, was ihr unter $\begin{eqnarray*} a\times b \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a,b\in\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ versteht, idealerweise direkt mit einem Beispiel zur komponentenweisen Berechnung.

04.05.2013, 16:15

Schinken

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Nein nein, definiert haben wir es, unter anderem, als distributiv, deshalb kann ich $\begin{eqnarray*} \omega\times (x_{1} + x_{2}) \end{eqnarray*}$ außeinanderziehen zu $\begin{eqnarray*} \omega\times x_{1} + \omega\times x_{2} \end{eqnarray*}$

04.05.2013, 17:10

Schinken

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und zur 2.:
Muss ich da nicht nur bloß die Einheitsvektoren in f(x) reinstopfen und das Ergebniss in eine Matrix? Also:

$\begin{eqnarray*} F = ( f(e_{1}), f(e_{2}), f(e_{3})) = \begin{pmatrix} 0 & -\omega_{3} & \omega_{2} \\ \omega_{3} & 0 & -\omega_{1} \\ -\omega_{2} & \omega_{1} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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