Normalverteilung - Verkaufsgespräch

03.05.2013, 19:24

Tipso

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Normalverteilung - Verkaufsgespräch

Hallo,

Zitat:

Ein Vertreter stellt fest, dass er in 10% aller Verkaufsgespräche zu einem Abschluss
kommt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 1.000 Verkaufsgesprächen zwischen 90 und 110
Abschlüssen zu erzielen?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 110 Abschlüsse zu erzielen?
c) Erläutere, warum die beigelegte Normalverteilungstabelle zur Berechnung herangezogen
werden kann?

a.
Es ist ein Normalverteilungsproblem aus welchem Grund?
n=1000?
Ist diese Begründung genug??

Weil ich nach Wahrscheinlichkeiten zwischen Bereichen suche, muss es eines sein?

a.
n=1000
p=0,1 %

Dies spricht ja wiederum für ein Binomialproblem, welches aufgrund zu hohem n auf ein Normalverteilungsproblem erweitert werden muss. verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \mu = n*p = 1000*0,1= 100 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma = n*p*(1-p) = 1000*0,1*0,9 = 90 \end{eqnarray*}$

Nun suche ich nach
$\begin{eqnarray*} P(90\leq x\leq 110) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} P(90 < x < 110) \end{eqnarray*}$

Zitat:

warum?

Ich führe hier jeweils die Standartnormalverteilung nach der Formel:

$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{x-\mu }{\sigma } =\frac{89-100 }{90 }=-0,122 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac{x-\mu }{\sigma } = \frac{111-100 }{90 }=0,122 \end{eqnarray*}$

Warum nehme ich diese x-Werte?
Was stellt dieser x-Wert überhaupt dar?

Nun habe ich

$\begin{eqnarray*} P(-0,122<z<0,122)= \phi 0,122 - \phi (- 0,122) = 0,88877-(1-0,88877) = 0,77754 = 77,75 % \end{eqnarray*}$

lg

03.05.2013, 19:32

Gast11022013

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Da vergisst du glatt bei der Standardabweichung die Wurzel zu ziehen.
Ansonsten sieht es gut aus.

Edit: Zu a) kannst du schreiben, dass mit der Normalverteilung approximiert werden kann, weil 1. das Laplace-Kriterium $\begin{eqnarray*} \sigma > 3 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist. Da du wahrscheinlich keine geeignete kumulierte Tabelle der Binomialverteilung hast, ist die Normalverteilung eine geeignete Näherung.

03.05.2013, 19:43

Tipso

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RE: Normalverteilung - Verkaufsgespräch
$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{x-\mu }{\sigma } =\frac{89-100 }{9,486}=-1,16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac{x-\mu }{\sigma } = \frac{111-100 }{9,486 }=1,16 \end{eqnarray*}$

Warum nehme ich diese x-Werte?
Was stellt dieser x-Wert überhaupt dar?

Nun habe ich

$\begin{eqnarray*} P(-1,16<z<1,16)= \phi 1,16 - \phi (- 1,16) = 0,87698-(1-0,87698) = 0,75396 = 75,4 % \end{eqnarray*}$

03.05.2013, 19:55

Gast11022013

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Was X in diesem Fall darstellt solltest du natürlich vorher festlegen. Ist mir gerade gar nicht aufgefallen.
In deinem Fall würdest du die Verkaufsgespräche zählen, welche zu einem Abschluss führen.

Sprachlich gesehen würde wohl folgendes gesucht sein:

$\begin{eqnarray*} P(90<X<110) \end{eqnarray*}$

Also das die Verkäufe echt zwischen 90 und 110 liegen.

In dem Fall müsstest du mit 90 und 108 einfach rechnen, weil dies gleichbedeutend mit

$\begin{eqnarray*} P(91\leq X\leq 109) \end{eqnarray*}$ ist.

Für die Berechnung würde dann also

$\begin{eqnarray*} z_1=\frac{90-100}{\sigma}<br /> <br /> z_2=\frac{108-100}{\sigma} \end{eqnarray*}$

gelten.

03.05.2013, 20:05

Tipso

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hi,

Nun verstehe ich was X oder x bedeutet.

Zitat:

In dem Fall müsstest du mit 90 und 108 einfach rechnen, weil dies gleichbedeutend mit

Warum?

verwirrt

zwischen 90 und 110 aber nicht 90 und 108.

Warum bedeutet dies:

$\begin{eqnarray*} P(91\leq X\leq 109) \end{eqnarray*}$ ist.

und dies wiederum 90 und 108. verwirrt

verwirrt

Für mich ist dies nicht nachvollziehbar.

03.05.2013, 20:15

Gast11022013

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Oh, da habe ich versehentlich 2 mal die 1 abgezogen. Da hast du recht.

$\begin{eqnarray*} P(90<X<110)=P(91\leq X\leq 109) \end{eqnarray*}$

Es muss ja echt größer und echt kleiner sein als 90 bzw. 110
Das heißt es muss größer oder gleich 91 sein und darf höchstens 109 sein, weil es ja trotzdem kleiner als 110 sein muss.

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03.05.2013, 20:27

Tipso

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Freude

Erinnert mich etwas an Stetigkeitskorrektur. verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} P(90<X<110)=P(91\leq X\leq 109) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu = n*p = 1000*0,1= 100 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma = n*p*(1-p) = 1000*0,1*0,9 = 90 \end{eqnarray*}$

................

$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{x-\mu }{\sigma } =\frac{91-100 }{9,49 }=-0,948 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac{x-\mu }{\sigma } = \frac{109-100 }{9,49 }=0,948 \end{eqnarray*}$

...............

$\begin{eqnarray*} P(-0,948<z<0,948)= \phi 0,948 - \phi (- 0,948) = 0,82894-(1-0,82894) = 0,65788= 65,8 % \end{eqnarray*}$

lg

03.05.2013, 20:41

Gast11022013

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Das kommt gut hin. GeoGebra rechnet glaube ich mit Steigungskorrektur, also +0.5 weshalb ich damit auf 0.68 komme.

Edit: Du hast übrigens das mit der Standardabweichung oben wieder falsch hingeschrieben.

03.05.2013, 21:01

Tipso

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Freude

$\begin{eqnarray*} \sigma^2 = n*p*(1-p) = 1000*0,1*0,9 = 90 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma^2 = n*p*(1-p) = \sqrt{1000*0,1*0,9} = 0,948 \end{eqnarray*}$

................

Du berechnest es mit geogebra verwirrt

verwirrt

................

Zitat:

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als 110 Abschlüsse zu erzielen?

Es heißt eindeutig größer deshalb P(110<x) oder eben
$\begin{eqnarray*} P(111\leq x) \end{eqnarray*}$ .

Vorgehen:
Es handelt sich um eine Binomialvert. mit hohem n also gehen wir auf Normalverteilung, um hier der Dichtef. Berechnung zu entgehen,springen wir von hier auf die Standartnormalvert.

$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{x-\mu }{\sigma } =\frac{111-100 }{9,49 }=1,16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(1,16\leq z) = \phi(1,16) = 0,87698= 87,7 % \end{eqnarray*}$

03.05.2013, 21:15

Gast11022013

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Ja ich berechne es mit GeoGebra. Weil ich keine Phi-Tabelle mehr habe. Die war in meinem Stochastikbuch. Das musste ich vor kurzem abgeben. traurig

traurig

Da fällt mir ein, dass ich auch einfach eine Phi-Tabelle aus dem Internet bedienen könnte.

Wir können in der Phi-Tabelle nur " X kleiner gleich" ablesen.

Das heißt, du musst noch derart umformen.
Nutze also die Gegenwahrscheinlichkeit.

Dann muss ich mich oben auch eben korrigieren.
Da war die Rechnung mit 108 korrekt. Auch hier müssen wir diese Umformung durchführen. Wir haben ja:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 109)-P(X\leq 91)=1-P(X\leq 108)-P(X\leq 91) \end{eqnarray*}$

03.05.2013, 21:38

Tipso

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hi,

a.

Warum jetzt doch zwischen 91 und 108 verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 109)-P(X\leq 91)=1-P(X\leq 108)-P(X\leq 91) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(91\leq x\leq 109) = P(x\leq 109)- (1-P(91\leq x))= P(x\leq 109)- 1+P(91\leq x) \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

----------------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{x-\mu }{\sigma } =\frac{91-100 }{9,49 }=-0,948 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2 = \frac{x-\mu }{\sigma } = \frac{108-100 }{9,49 }=0,843 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(-0,948<z<0,843)= \phi 0,843 - \phi (- 0,948) = 0,80234-(1-0,82894) = 0,63128= 63,13 % \end{eqnarray*}$

*
habe hier auf \phi 0,85 aufgerundet.

b.

$\begin{eqnarray*} z_1 = \frac{x-\mu }{\sigma } =\frac{111-100 }{9,49 }=1,16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(1,16\leq z) = \phi(-1,16) = 1- 0,87698= 0,123 = 12, 3 % \end{eqnarray*}$

03.05.2013, 21:51

Gast11022013

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Es gibt ja folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1) \end{eqnarray*}$

Da wir in diesem Teil der Berechnung einmal größer gleich haben, was wir nicht aus der Phi-Tabelle ablesen können, müssen wir über die Gegenwahrscheinlichkeit es zu einem "kleiner gleich" umformen. Dabei reduziert sich das k um 1. Folglich wird aus 109 die 108.

Bei der zweiten Rechnung musst formst du so um:

$\begin{eqnarray*} P(110<X)=P(111\leq X)=1-P(X\leq 110) \end{eqnarray*}$

Daher muss in der Rechnung mit 110 gerechnet werden, womit du auf einen z-Wert von 1,05 kommst.

03.05.2013, 22:03

Tipso

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smile

b.

$\begin{eqnarray*} P(110<X)=P(111\leq X)=1-P(X\leq 110) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(1,05\leq z) = \phi(-1,95) = 1- 0,85314= 0,14686 = 14,7 % \end{eqnarray*}$

Habe die Zusammenhänge noch nicht ganz verstanden, werde mir aber auch dafür noch einen Tag Zeit geben, bevor ich zu viele Fragen stelle. Freude

Freude

Freude

c.

folgt, wenn b. richtig ist.

lg

03.05.2013, 22:07

Gast11022013

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Zu der Aufgabe c) hatte ich sogesehen direkt am Anfang was geschrieben.

Um erfolgreich, oder sinnvoll mit der Normalverteilung anzunähern, wenn es eigentlich eine binomialverteilte Zufallsgröße ist, muss man zusehen, dass das Laplace-Kriterium erfüllt ist, was hier gegeben ist.

Deine Lösung ist richtig.

03.05.2013, 22:23

Tipso

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Freude

c.
Erläutere, warum die beigelegte Normalverteilungstabelle zur Berechnung herangezogen
werden kann?

Da die Binomialverteilung bei hohen n-Werten sich der Normalverteilung nähert(ähnlich ist).

Zitat:

Da du wahrscheinlich keine geeignete kumulierte Tabelle der Binomialverteilung hast, ist die Normalverteilung eine geeignete Näherung.

Tabellenkalkulation. smile

smile

Zitat:

Um erfolgreich, oder sinnvoll mit der Normalverteilung anzunähern, wenn es eigentlich eine binomialverteilte Zufallsgröße ist, muss man zusehen, dass das Laplace-Kriterium erfüllt ist, was hier gegeben ist.

$\begin{eqnarray*} \sigma\geq 3,01 \end{eqnarray*}$

oder eben

$\begin{eqnarray*} \sigma>3,0 \end{eqnarray*}$

smile

smile

03.05.2013, 22:35

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ob man anstatt $\begin{eqnarray*} \sigma > 3 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \sigma\geq 3,01 \end{eqnarray*}$

schreiben darf ist die Frage.

Immerhin wäre

3.00000000001 ja auch größer als 3

03.05.2013, 22:43

Tipso

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Stimmt, habe darüber auch vor meinem Beitrag nachgedacht. verwirrt

verwirrt

Intervalle nennt man diese oder?
Meistens nimmt man ja ganze Intervalle.

Also einfach

$\begin{eqnarray*} \sigma\geq 4 \end{eqnarray*}$

dann versteht es eigentlich jedermann auf der Welt.

smile

smile

03.05.2013, 22:49

Gast11022013

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Die Grenzen von einem Integral wären zum Beispiel ein Intervall.
Hier sehe ich gerade keinen Bezug zum Begriff Intervall.

Und bleibe lieber bei $\begin{eqnarray*} \sigma > 3 \end{eqnarray*}$

Dies ist das Laplace-Kriterium und dies ist theoretisch auch erfüllt, wenn Sigma 3,00001 ist. Natürlich rundet man irgendwann mal, aber 3,4 zum Beispiel wäre vollkommen okay und das würdest du ja ausschließen wenn du für Sigma verlangst, dass es mindestens 4 sein muss. Hier kannst du nicht so umformen indem du einfach eine 1 dazu addierst, wenn du dies denkst.

Andernfalls kann ich mir nicht erklären wieso du auf die 4 kommst.

03.05.2013, 22:55

Tipso

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Habe mich hier vertan. unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \sigma > 3 \end{eqnarray*}$

Freude

Freude

3,0000+..+1 = erfüllt. Freude

Freude

mit der obigen Formel/Gleichung. ( $\begin{eqnarray*} \sigma > 3 \end{eqnarray*}$ ).

lg

03.05.2013, 22:56

Gast11022013

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Je größer das Sigma ist, desto besser ist auch die Näherung.

03.05.2013, 23:03

Tipso

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Warum eigentlich?

verwirrt

verwirrt

03.05.2013, 23:35

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Den genauen Grund kenne ich dafür auch nicht.

Ich glaube das liegt daran, dass man ja versucht die Binomialverteilung auf die Normalverteilung zu normen. Je größer dabei das Sigma ist, desto kleiner werden die Schwankungen in der Ungenauigkeit, da bin ich aber auch überfragt.

03.05.2013, 23:44

Tipso

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Freude

Danke für deine Hilfe.

Freude

Freude

03.05.2013, 23:44

Gast11022013

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Gern geschehen.
Wink

Wink

04.05.2013, 15:46

Tipso

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Es gibt ja folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1) \end{eqnarray*}$

Da wir in diesem Teil der Berechnung einmal größer gleich haben, was wir nicht aus der Phi-Tabelle ablesen können, müssen wir über die Gegenwahrscheinlichkeit es zu einem "kleiner gleich" umformen. Dabei reduziert sich das k um 1. Folglich wird aus 109 die 108.

Bei der zweiten Rechnung musst formst du so um:

$\begin{eqnarray*} P(110<X)=P(111\leq X)=1-P(X\leq 110) \end{eqnarray*}$

Daher muss in der Rechnung mit 110 gerechnet werden, womit du auf einen z-Wert von 1,05 kommst.

Im Nachhinein bin ich hier total verwirrt damit.

gibt es hier eine allgemein Regel hierfür

verwirrt

04.05.2013, 15:50

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} P(X\geq k)=1-P(X\leq k-1) \end{eqnarray*}$

ist eigentlich die allgemeine Regel um das kleiner gleich zu bekommen.

04.05.2013, 15:56

Tipso

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RE: Normalverteilung - Verkaufsgespräch
hi,

a.
Wir suchen ja nach diesem Intervall. (Bereich)

$\begin{eqnarray*} P(90 < x < 110) \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Bei 90 haben wir aber auch nicht 88 genommen.

b.
Ich kenne es eigentlich nur als: verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} P(X\geq k)=1-P(X\leq k) \end{eqnarray*}$

Ich verstehe, dass ich hier umdrehen muss, da ich von der Standartnormaltabelle nur Flächen lesen kann, die kleiner sind als ein bestimmter Wert.
Aufgrund der Symetrie dieser, erhalte ich so die Fläche von negativen Flächen, indem ich diese umdrehe. Warum aber ziehe ich dann von meinem Wert -1 (eins) ab. verwirrt

verwirrt

lg

04.05.2013, 16:08

Gast11022013

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Das kannst du dir an einem Beispiel erklären, oder wenn du dir einfach mal eine Glockenkurve auf dein Blatt malst.

Vielleicht verwechselst du hier auch die die Relationszeichen.

Hat man nämlich

$\begin{eqnarray*} P(X>k)=1-P(X\leq k) \end{eqnarray*}$

04.05.2013, 16:31

Tipso

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Ich mache sicherheitshalber einfach mal alle Varianten durch.

$\begin{eqnarray*} P(X>k)=1-P(X\leq k) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X>k)=1-P(X>( k+1)) \end{eqnarray*}$

..........

$\begin{eqnarray*} P(X\leq k)=1-P(X \leq k) \end{eqnarray*}$

.........

$\begin{eqnarray*} P(X\leq k)=1-P(X>k) \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Der Wert der Standartabweichung, gibt mir ja den Wert der Fläche bis zu einem Wert.
Ist hier der Wert mit eingeschlossen oder nicht? verwirrt

verwirrt

04.05.2013, 16:42

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

In deinem Beispiel geht es ja um Verkaufsgespräche.
Wenn er mehr als 110 verkaufsgespräche haben soll, dann darf er nicht weniger als 109 haben.

Diese Umformung brauchst du nur, wenn wir größer oder größer gleich haben. Deine 1. Umformung ist richtig.
Den Rest vergiss lieber wieder.

04.05.2013, 16:57

Tipso

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Habe diese ausgebessert, jetzt müsste es passen. Freude

Freude

$\begin{eqnarray*} P(X\leq k)=P(X < (k+1)) \end{eqnarray*}$

.........

$\begin{eqnarray*} P(X\leq k)=\phi(k+1) \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

Zitat:

Der Wert der Standartabweichung, gibt mir ja den Wert der Fläche bis zu einem Wert. Ist hier der Wert mit eingeschlossen oder nicht?

Es steht ja auch im Zusammenhang hiermit.
In der Standartnormaltabelle ist ja immer der Wert bis zu einem Bereich gegeben, dabei ist der letzte Bereich mitzuzählen.

Interessant ist aber noch die Tatsache, dass in der Normalverteilung einzelne Zahlen nicht zählen, also müsste es egal sein ob ich bis 110 oder 109 zähle.

..
Es ändert sich sehr wohl etwas, wenn ich bis 110 oder 109 zähle. smile

smile

Ich werde mir einfach einige Tage Zeit geben und mich dann erst wieder beschäftigen, da ich es nicht vollständig überreise. verwirrt

verwirrt

[latex]P(X\leq k)=1-P(X < (k+1)[latex]

würde aber eher dafür sprechen, dass die Werte der Standartnormalverteilung bis k gehen aber k nicht miteinschließen.

04.05.2013, 17:02

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht, was du mit deiner obigen Umformung bezwecken möchtest.
In der Phi-Tabelle ließt man auch nicht irgendeinen k+1 Wert ab, sondern den z-Wert, welchen man mit k berechnet.

04.05.2013, 17:17

Tipso

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Ich habe es falsch verstanden ..

$\begin{eqnarray*} P(X\leq k)=P(X < (k+1)) \end{eqnarray*}$

so müsste es nun richtig sein. verwirrt

verwirrt

lg

04.05.2013, 17:27

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

das wäre zwar richtig, bringt aber eigentlich nicht wirklich viel.
Davon abgesehen ist es das selbe wie wenn du schreibst

$\begin{eqnarray*} P(X<k)=P(X\leq k-1) \end{eqnarray*}$

04.05.2013, 17:52

Tipso

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Freude

Ich habe dies soweit verstanden.

Leider wird aber in den meisten Aufgaben immer nur ein < bzw. > verwendet.

$\begin{eqnarray*} P(X>k)=1-P(X < (k+1)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X<k)=1-P(X > (k-1)) \end{eqnarray*}$

Freude

Freude

letzte Frage zu dem Thema.
Wenn ich einen z-Wert nachles, dann ist auch die Fläche bis zu diesem gemeint.

lg

04.05.2013, 18:16

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Würde ich so bestätigen. Freude

Freude

Wenn in den Aufgaben nur ein > oder < ist, dann hilft es dieses erstmal in kleiner oder größer gleich umzuwandeln.

04.05.2013, 18:57

Tipso

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Freude

07.05.2013, 17:26

Tipso

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RE: Normalverteilung - Verkaufsgespräch
Hallo nochmal,

Bei dieser Aufgabe bin ich leider noch nicht sattelfest.

Zitat:

Ein Vertreter stellt fest, dass er in 10% aller Verkaufsgespräche zu einem Abschluss
kommt.

Zitat:

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei 1.000 Verkaufsgesprächen zwischen 90 und 110 Abschlüssen zu erzielen?

Hier fängt die Unsicherheit an:

$\begin{eqnarray*} P(90<x<110) \end{eqnarray*}$
Mit Stetigkeitskorrektur:
$\begin{eqnarray*} P(90,5<x<110,5) \end{eqnarray*}$

Mein Problem sind nun die z-Werte, mit denen ich arbeite.

z_1 = 90

z_2 = 110

bzw.

z_1 = 90,5
z_2 = 110,5

wir erhalten aber leider ganz andere Werte.

Trotz deren Erklärung, sind diese für mich nicht nachvollziehbar.

lg

08.05.2013, 01:49

Tipso

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 109)-P(X\leq 91)=1-P(X\leq 108)-P(X\leq 91) \end{eqnarray*}$

Ich glaube, ich habe einen Fehler gefunden.

Es müsste doch heißen:

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 109)-P(X\leq 91)=P(X\leq 109)-(1-P(X\leq 91)) \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

lg

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