Cauchy-Schwarz Ungleichung Beweis: Betrag vom Skalarprodukt

03.05.2013, 22:50	machinehed	Auf diesen Beitrag antworten »
Cauchy-Schwarz Ungleichung Beweis: Betrag vom Skalarprodukt Meine Frage: Ich versuche gerade den Beweis der Cauchy-Schwarz Ungleichung zu verstehen; gleichzeitig um die Eigenschaften der folgenden Begriffen besser zu kennen: Norm, Betrag und Skalarprodukt. Der folgende Schritt bringt mir Schwierigkeiten: $\begin{eqnarray} 2Re<x,y> \leq 2 \|<x,y>\| \end{eqnarray}$ Insbesondere, die Bedeutung vom Betrag eines Skalarproduktes... Kann mir jemand helfen, das anschaulicher zu machen? Es ist bestimmt eine sehr grundlegende Sache. Danke im Voraus. Meine Ideen: Der Betrag von einem Vektor kann als die quadratische Würzel vom Skalarprodukt des Vektores definiert werden. Der Betrag vom Skalarprodukt also: $\begin{eqnarray} \sqrt{<<x>,<x>>} \end{eqnarray}$ ?
03.05.2013, 22:52	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Schwarz Ungleichung Beweis: Betrag vom Skalarprodukt Das Skalarprodukt von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ist nur eine komplexe Zahl. Und für die kennst du den Betrag sicher. Wenn du $\begin{eqnarray} z:=\langle x,y\rangle\in\mathbb C \end{eqnarray}$ setzt, brauchst du also $\begin{eqnarray} \operatorname{Re}z\leq\lvert z\rvert \end{eqnarray}$ .
03.05.2013, 23:02	machinehed	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Schwarz Ungleichung Beweis: Betrag vom Skalarprodukt Vielen Dank für die schnelle Antwort. Das hat mir die Ungleichung auf jeden Fall graphisch geklärt!
03.05.2013, 23:04	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Schwarz Ungleichung Beweis: Betrag vom Skalarprodukt Wenn du sie analytisch beweisen möchtest, betrachte $\begin{eqnarray} z=a+\mathrm ib \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} a,b\in\mathbb R \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} \lvert z\rvert=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray}$ zusammen mit $\begin{eqnarray} \operatorname{Re}z=a \end{eqnarray}$ .
03.05.2013, 23:16	machinehed	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Cauchy-Schwarz Ungleichung Beweis: Betrag vom Skalarprodukt also [Re(z)]^2 = $\begin{eqnarray} a^{2} \leq a^{2} + b^{2} \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} b \in \mathbb R \Rightarrow b^{2} \geq 0 \end{eqnarray}$ , ich war verwirrt, weil ich versucht habe, dies durch die direkte definition vom Skalarprodukt zu beweisen, was mir zu kompliziert geworden ist.

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