Skalarprodukt nicht entartet?

03.05.2013, 22:58

Nighel123

Skalarprodukt nicht entartet?

Moin,

warum sind Skalarprodukte nicht entartet?

Das Skalarpodukt ist doch auch null wenn ich zwei orthogonale Vektoren habe also beide Vektoren ungleich 0 sind...?

03.05.2013, 23:02

Che Netzer

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RE: Skalarprodukt nicht entartet?
"Entartet" heißt aber nicht, dass das Skalarprodukt nie Null werden darf.
Schreib man die Definition von "entartet" auf, vielleicht bemerkst du dann schon selbst, wieso doch alles funktioniert.

03.05.2013, 23:26

Nighel123

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RE: Skalarprodukt nicht entartet?
Eine Biliniarform $\begin{eqnarray*} \beta: V \times V \rightarrow \mathbb K \end{eqnarray*}$
gilt als nicht entartet, wenn die liniare Abbildung:

$\begin{eqnarray*} V \rightarrow V^{*} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v \rightarrow \beta(v,\cdot) \end{eqnarray*}$

injektiv ist, d.h. wenn v = 0 der einzige Vektor ist, für den $\begin{eqnarray*} \beta (v,w)=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} w \in V \end{eqnarray*}$ gilt.

03.05.2013, 23:29

Che Netzer

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RE: Skalarprodukt nicht entartet?
Dann nimm dir mal einen Raum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ mit Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} \langle\cdot\,,\cdot\rangle \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} v\neq0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \langle v,w\rangle=0 \end{eqnarray*}$ für alle (!) $\begin{eqnarray*} w\in V \end{eqnarray*}$ .
Kann es ein solches $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ geben? Bzw. mit welcher speziellen Wahl von $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ kannst du einen Widerspruch erzeugen?

Edit: Übrigens – es heißt Bilinearform und linear.

03.05.2013, 23:31

Nighel123

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RE: Skalarprodukt nicht entartet?
ok danke -.- hätt ich auch selbst drauf kommen können Freude

03.05.2013, 23:47

Nighel123

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RE: Skalarprodukt nicht entartet?
und ich habe die Aufgabe bekommen:

Sei A darstellende Matrix einer Bilinearform $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ auf einem endlichdimensionalen $\begin{eqnarray*} \mathbb {K}- \end{eqnarray*}$ Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .
a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} A^{t} \end{eqnarray*}$ die darstellende Matrix der linearen Abbildung $\begin{eqnarray*} \alpha : V \in v \rightarrow \beta (v, \cdot) \in V^{*} \end{eqnarray*}$ bezüglich der gegebenen Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und der dazu dualen Basis ist, und dass $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ genau dann symmetrisch (bzw. schiefsymmetrisch) ist, wenn $\begin{eqnarray*} A = A^{t} \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} A = -A^{t} \end{eqnarray*}$ ) gilt.

bin ich schon fertig wenn ich jetzt das hier aufschreibe:

$\begin{eqnarray*} B=(v_1,...,v_n) \end{eqnarray*}$ sei eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Und $\begin{eqnarray*} A= a_{ij} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha: V\rightarrow V^*, \alpha(v)\rightarrow \beta(v,\cdot) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha(v_i)=v_i^{*} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha(v_i)(v_j)=v_i^{*}(v_j)=\beta(v_i,v_j) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \left(\beta(v_i,v_j)\right)_{i,j}=a_{i,j} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \,\, \left(\beta(v_j,v_i)\right)_{j,i}=\left(\beta(v_i,v_j)\right)_{i,j} \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist.

und das schiefsymmetrisch analog...

03.05.2013, 23:49

Che Netzer

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RE: Skalarprodukt nicht entartet?
Was ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ?

03.05.2013, 23:51

Nighel123

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RE: Skalarprodukt nicht entartet?
habs reingeschrieben

$\begin{eqnarray*} A= a_{ij} \end{eqnarray*}$

03.05.2013, 23:53

Che Netzer

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RE: Skalarprodukt nicht entartet?
Schön, und was ist $\begin{eqnarray*} a_{ij} \end{eqnarray*}$ ?

04.05.2013, 00:03

Nighel123

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RE: Skalarprodukt nicht entartet?
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & a_{1,4} & a_{1,5} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & a_{2,4} & a_{2,5} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & a_{3,4} & a_{3,5} \\ a_{4,1} & a_{4,2} & a_{4,3} & a_{4,4} & a_{4,5} \\ a_{5,1} & a_{5,2} & a_{5,3} & a_{5,4} & a_{5,5} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

die indizes sind die Koordinaten der Einträge

04.05.2013, 00:04

Che Netzer

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RE: Skalarprodukt nicht entartet?
Ja, aber was ist z.B. $\begin{eqnarray*} a_{1,1} \end{eqnarray*}$ ? Wie ist das definiert?

04.05.2013, 00:08

Nighel123

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RE: Skalarprodukt nicht entartet?
http://de.wikipedia.org/wiki/Bilinearform siehe Koordinatendarstellung. Wobei hier f,e=B und

also $\begin{eqnarray*} \left(\beta(v_i,v_j)\right)_{i,j}=a_{i,j} \end{eqnarray*}$

04.05.2013, 00:13

Che Netzer

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RE: Skalarprodukt nicht entartet?
Na bitte, da versteckt sich also die Definition.

Vielleicht kannst du den Rest hiervon:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} B=(v_1,...,v_n) \end{eqnarray*}$ sei eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ . Und $\begin{eqnarray*} A= a_{ij} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha: V\rightarrow V^*, \alpha(v)\rightarrow \beta(v,\cdot) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha(v_i)=v_i^{*} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha(v_i)(v_j)=v_i^{*}(v_j)=\beta(v_i,v_j) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \left(\beta(v_i,v_j)\right)_{i,j}=a_{i,j} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \,\, \left(\beta(v_j,v_i)\right)_{j,i}=\left(\beta(v_i,v_j)\right)_{i,j} \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist.

und das schiefsymmetrisch analog...

auch etwas näher erläutern.
Was tust du da, was ist vorausgesetzt, warum sollen die jeweiligen Folgerungen gelten etc.

04.05.2013, 00:32

Nighel123

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RE: Skalarprodukt nicht entartet?
Also bis zur vorvorletzten Zeile bin ich mir nicht sicher ob man das alles so schreibt. Aber da habe ich eigentlich alles nur so eingesetzt was wir für Definitionen für die Bilinearform hatten. Und in der vorletzten Zeile schreibe ich dann die darstellende Matrix auf. Dann nutze ich aus das die Bilinearform symmetrisch ist, ich also die argimente vertauschen kann und trotzdem die selbe matrix erhalte, womit ich dann gezeigt hätte dass die Matrix auch symetrische ist... Kp ob das alles so richtig ist...

04.05.2013, 09:38

Che Netzer

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RE: Skalarprodukt nicht entartet?
Ich wollte darauf hinaus, dass du nur ein paar Gleichungen ohne Zusammenhang und Text untereinandergeschrieben hast.

Aber insbesondere $\begin{eqnarray*} \alpha(v_i)=v_i^* \end{eqnarray*}$ ist fragwürdig. Wieso soll das gelten?

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