Konstante und Verteilungsfunktion bestimmen

04.05.2013, 10:15

Müh01

Konstante und Verteilungsfunktion bestimmen

Hallo!
Habe folgende Aufgabe zu lösen:

Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ hat folgende Dichte:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases}c \cdot \frac{1}{x+1}&\text{$0 \leq x \leq 10$}\\0&\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

a) Bestimme Konstante c.

Habe das so gelöst:

Es gilt ja
$\begin{eqnarray*} 1=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = \int_{0}^{10}c \cdot \frac{1}{x+1}dx = c \cdot log(11) \end{eqnarray*}$
Also ist $\begin{eqnarray*} c=\frac{1}{log(11)} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

bei b) ist dann die Verteilungsfunktion von X zu bestimmen.
Falls Punkt a) richtig ist bekomme ich $\begin{eqnarray*} F(b) =\frac{log(b+1)}{log(11)} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \leq b \leq 10 \end{eqnarray*}$

Weiters soll ich den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ berechnen. Da bekomme ich aber leider kein vernünftiges Ergebnis heraus. Daher bin ich mir nicht sicher ob obige Rechnung richtig ist.

Danke im Voraus für die Hilfe!

04.05.2013, 13:37

Math1986

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RE: Konstante und Verteilungsfunktion bestimmen
Bis dahin ist alles richtig. Nun noch den Erwartungswert.

05.05.2013, 09:32

Müh01

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Oke Danke.

für den Erwartungswert habe ich dann einfach
$\begin{eqnarray*} E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} \! xf(x) \, dx = \frac{1}{log(11)} \int_0^{10} \! \frac{x}{x+1} \, dx =\frac{10}{log(11)}-1 \end{eqnarray*}$

Es ist auch noch die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass X einen Wert zwischen 7 und 9 annimmt. Ist das dann
$\begin{eqnarray*} \int_7^{9} \! \frac{log(x+1)}{log(11)} \, dx \end{eqnarray*}$

Weiters ist noch der Erwartungswert für $\begin{eqnarray*} Y=\frac{X}{1+X} \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Da weiß ich nicht wirklich wie ich das machen soll.

05.05.2013, 12:58

Math1986

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Zitat:

Original von Müh01
Oke Danke.

für den Erwartungswert habe ich dann einfach
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{log(11)} \int_0^{10} \! \frac{x}{x+1} \, dx =\frac{10}{log(11)}-1 \end{eqnarray*}$

Kannst du diesen Schritt mal vorrechnnen?

Bei der anderen Aufgabe musst du über die Dichtefunktion integrieren, also die von oben.

05.05.2013, 19:44

Müh01

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{log(11)} \int_0^{10} \! \frac{x}{x+1} \, dx = \frac{1}{log(11)} \left[x-log(x+1)\right]_{0}^{10} = \frac{1}{log(11)} (10-log(11) -0-0)=\frac{10}{log(11)}-\frac{log(11)}{log(11)}=\frac{10}{log(11)}-1 \end{eqnarray*}$
müsste passen oder?

Oke für die Wahrscheinlichkeit, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ zwischen 7 und 9 ist also dann
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{log(11)} \int_7^9 \! \frac{1}{x+1} \, dx \end{eqnarray*}$

und wie komme ich auf Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} Y=\frac{X}{X+1} \end{eqnarray*}$ ?

07.05.2013, 10:20

Math1986

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Sieht bis dahin richtig aus, mit dem Rest muss ich noch schauen.

07.05.2013, 10:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Müh01
Weiters ist noch der Erwartungswert für $\begin{eqnarray*} Y=\frac{X}{1+X} \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Da weiß ich nicht wirklich wie ich das machen soll.

Irgendwie seltsam festzustellen, dass sich die doch recht einfache Berechnungsformel

$\begin{eqnarray*} E(h(X)) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} h(x)f_X(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

für beliebige absolutstetige Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mit Dichte $\begin{eqnarray*} f_X \end{eqnarray*}$ , und beliebige messbare Funktionen $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ so großer Unbekanntheit erfreut. verwirrt

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