total beschränkt => Jede Folge hat eine Cauchyfolge als Teilfolge

04.05.2013, 11:34	chris95	Auf diesen Beitrag antworten »
total beschränkt => Jede Folge hat eine Cauchyfolge als Teilfolge Hi Matheboardler, ich würde gerne folgendes zeigen: X ist ein total beschränkter metr. Raum. => Jede Folge hat eine Cauchyfolge als Teilfolge. Sei $\begin{eqnarray} (a_n)_n \end{eqnarray}$ eine Folge und $\begin{eqnarray} \epsilon >0 \end{eqnarray}$ gegeben. Da X total beschränkt ist, so existieren $\begin{eqnarray} x_i \in X \end{eqnarray}$ sodass: $\begin{eqnarray} X = \bigcup_{i=1}^n B_{\frac \varepsilon 2 } (x_i) \end{eqnarray}$ Da 1,...,n endlich ist, so muss es ein $\begin{eqnarray} x_i\in X \end{eqnarray}$ geben, sodass unendlich viele Folgeglieder in diesem Epsilonball liegen. Diese Folgeglieder identifiziere ich mit $\begin{eqnarray} (x_{n_l})_l \subseteq (x_n)_n \end{eqnarray}$ Nun gilt fuer alle $\begin{eqnarray} m,l \geq 1:\,\, d( x_{n_l}, x_{n_m} ) < \varepsilon \end{eqnarray}$ Bin ich jetzt schon fertig oder stimmt der Beweis nicht, weil ich ja erst nach der Wahl des Epsilons die Teilfolge wähle und das macht mich stutzig. Viele Grüße, Christian
17.06.2013, 11:12	Rasoga	Auf diesen Beitrag antworten »
Grob sollte das passen, die Frage, die ich mir stelle ist: Für jedes $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ bekommst du i.A. andere Bälle. Das heißt du musst deine Cauchyfolge induktiv konstruieren, indem du immer wieder eine neue Überdeckung deiner "Umgebung mit unendlich vielen Gliedern" nimmst...dort gibt es auch wieder einen Ball, der unendlich viele enthält, etc... LG

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