Bogenlängenparametrisierung einer einfach geschlossenen Kurve ist periodisch

04.05.2013, 13:03	KA88	Auf diesen Beitrag antworten »
Bogenlängenparametrisierung einer einfach geschlossenen Kurve ist periodisch Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Zeigen Sie: Ist $\begin{eqnarray} c: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ eine Parametrisierung nach Bogenlänge einer einfach geschlossenen Kurve, so ist c periodisch. Die Definitionen die ich habe: Ein Paramertisierung c heißt periodisch genau dann, wenn $\begin{eqnarray} \exists_{L > 0} : \forall_{t \in \mathbb{R}} : c(t + L) = c(t) \end{eqnarray}$ . Eine Kurve K heißt einfach geschlossen, wenn sie $\begin{eqnarray} \textbf{eine} \end{eqnarray}$ reguläre, periodische Parametrisierung besitzt und $\begin{eqnarray} c{\big\|_{[0,L)}} \end{eqnarray}$ injektiv ist. Eine Parametrisierung nennt man nach Bogenlänge genau dann, wenn $\begin{eqnarray} \forall_t : \Vert \dot{c}(t) \Vert = 1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Aus der einfachen Geschlossenheit folgt ja (unter anderem), dass $\begin{eqnarray} \exists_{\tilde{c}:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^n} : \big( \exists_{\tilde{L} > 0} \forall_{t \in \mathbb{R}} : \tilde{c}(t+L) = c(t) \; \wedge \tilde{c}{\big\|_{[0,\tilde{L})}} ist injektiv \; \wedge \Vert \dot{\tilde{c}}(t) \Vert > 0 \big) \end{eqnarray}$ Aus der VL ist bekannt, dass es dann $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray} c = \tilde{c} \circ \phi \end{eqnarray}$ . Setze ich nun $\begin{eqnarray} s_0 = \phi^{-1}(0) \; sowie \; s_{\tilde{L}} = \phi^{-1}(\tilde{L}) \end{eqnarray}$ . Dann folgt: $\begin{eqnarray} c(s_0) = \tilde{c}(0) = \tilde{c}(\tilde{L}) = \tilde{c}(\phi(s_{\tilde{L}}) = c(s_{\tilde{L}}) \end{eqnarray}$ . Demnach müsste doch $\begin{eqnarray} s_{\tilde{L}} - s_0 =: L \end{eqnarray}$ die Periode von c sein, sofern es diese gibt. Ich würde jetzt also unter Benutzung der Injektivität von $\begin{eqnarray} \tilde{c}{\big\|_{[0,\tilde{L})}} \end{eqnarray}$ zeigen wollen, dass $\begin{eqnarray} \forall_t : c(t) = c(t + L) \end{eqnarray}$ gilt. Leider komme ich da nun nicht mehr weiter. Könnte mir deswegen bitte jemand einen (oder zwei ) Tipp(s) geben, bzw. mir evtl. auch sagen, ob ich mit diese Idee gänzlich auf dem Holzweg bin? Danke!

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