Bolzano-Weierstraß

04.05.2013, 13:30	bZerk	Auf diesen Beitrag antworten »
Bolzano-Weierstraß Guten Tag zusammen! Grade bin ich ein bisschen verwirrt. Ich habe eine Aufgabe auf einem Übungsblatt welche wie folgt lautet: "Zeigen Sie, dass eine Teilmenge von $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ , in der jede Folge eine konvergente Teilfolge besitzt, kompakt ist." Wie ich dann meine Mitschrift der Vorlesung durchgegangen bin, fand ich den Satz von Bolzano-Weierstraß: "Sei A eine kompakte Teilmenge eines metrischen Raumes X und $\begin{eqnarray} (x_{n})_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ eine Folge von Punkten $\begin{eqnarray} x_{n} \in A \end{eqnarray}$ . Dann gibt es eine Teilfolge $\begin{eqnarray} (x_{n_{k}})_{k \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ , die gegen einen Punkt $\begin{eqnarray} a \in A \end{eqnarray}$ konvergiert." Ich bin jetzt etwas verwirrt, denn ist die Aufgabe nicht einfach ein Rückwärtsschluss des Satzes von Bolzano-Weierstraß? Oder steckt da etwa mehr dahinter? Gruß bZerk
04.05.2013, 14:48	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bolzano-Weierstraß Nein, das ist tatsächlich die Umkehrung. In metrischen Räumen sind Überdeckungskompaktheit (Existenz endlicher Teilüberdeckungen) und Folgenkompaktheit (Existenz konvergenter Teilfolgen – mit Grenzwert IN der betrachteten Menge) stets äquivalent. In allgemeinen topologischen Räumen ist übrigens für die Gültigkeit der Hinrichtung das erste Abzählbarkeitsaxiom; für die der Rückrichtung das zweite hinreichend.
04.05.2013, 14:57	bZerk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, vielen Dank für die Antwort

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