Wahrscheinlichkeitsaufgabe - Trick

04.05.2013, 14:07

Tipso

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Wahrscheinlichkeitsaufgabe - Trick

Hallo,

Zitat:

Ein Zauberer stellt fest, dass ein bestimmter Trick in 40% aller Fälle funktioniert.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Trick in einer Vorstellung zweimal
hintereinander nicht funktioniert? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Trick zweimal
hintereinander funktioniert?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in %), dass der Trick bei 20 Versuchen mindestens 5
mal gelingt?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in %), dass der Trick bei 1000 Versuchen mindestens
440 mal gelingt?

a.

Wiederholen von einem Versuch zwei mal mit zurücklegen = Baumdiagramm.

$\begin{eqnarray*} p= 0,4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n= 2 \end{eqnarray*}$
Liese sich auch mit Binomialvert. lösen? Warum nicht??

a.
$\begin{eqnarray*} 1-(0,4)^2 oder 0,6^2 \end{eqnarray*}$

a.1.1

$\begin{eqnarray*} 0,4^2 oder 1-0,6^2 \end{eqnarray*}$

lg

04.05.2013, 14:32

Sendoh

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Baumdiagramm und Binomialverteilung können angewendet werden (Es ist Unabhängigkeit anzunehmen). Bei b) und c) verwende die Binomialverteilung, weil das Baumdiagramm explodiert.

Wenn der Trick mit einer Wsk. von 2/5 funktioniert, dann beträgt die Wsk., dass der Trick zweimal hintereinander funktioniert nach der Multiplikationsregel 2/5*2/5=4/25=0,16. Der Rest sei dir jetzt überlassen.

Edit: Habe deine Schreibweise erst jetzt verstanden: 1-(0,4)² ist falsch (Warum?) und 0,6² richtig.

04.05.2013, 14:37

Tipso

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hi.

a.

zweimal hintereinander funktioniert

p= 0,4

1-0,4^2 oder eben 0,6^2 = 0,36(Gegenwahrscheinlichkeit).

a. 1.1

zweimal hintereinander nicht funktioniert

1-0,6^2 oder eben 0,4^2 = 0,16

c.

Ich glaube, dass die Binomialverteilung hier nicht greift, weil n zu hoch ist.

Zitat:

Es ist Unabhängigkeit anzunehmen

verwirrt

verwirrt

lg

Ps.
Erst nach erledigen der Fragen, werde ich die Aufgabe auch rechnerisch fertigstellen. Freude

Freude

04.05.2013, 14:38

Sendoh

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Lies nochmal meinen edit

Zur Unabhängigkeit: Das heißt, dass der Erfolg/Misserfolg des ersten Versuches keinen Einfluss auf den zweiten Versuch hat. Es könnte ja durchaus sein, dass die Wsk., dass der zweite Versuch funktioniert, höher ist, wenn bereits der erste funktioniert hat.

04.05.2013, 14:52

Tipso

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hi,

Zitat:

Habe deine Schreibweise erst jetzt verstanden: 1-(0,4)² ist falsch (Warum?) und 0,6² richtig.

Hätte die Notation wohl etwas offensichtlicher machen sollen.

P(X= 2Misserfolg) = 0,6^2

Warum ist 1-(0,4)^2 = 0,84

Es ist das Gegenteil von 2x-Erfolg.
Das Gegenteil von 2x-Erfolg ist 2x-Misserfolg + 1xErfolg1xMisserfolg+ 1xMisserfolg1xErfolg. verwirrt

verwirrt

04.05.2013, 14:54

Sendoh

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Achsoo, es gilt: 0,6²=1-0,4² verwirrt

verwirrt

Edit: Ich hatte die Fragen andersrum im Kopf. Es ist sogar weder 0,6² noch 1-0,4² richtig, wenn du nach der Wsk. für 2 Treffer suchst.

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04.05.2013, 15:00

Tipso

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hi,

Ich glaube, ich bin etwas unstrukturiert vorgegangen.

2x Erfolg = 0,4^2

2x Misserfolg = 0,6^2

Wenn ich 1-(0,4)^2 oder 1-(0,6)^2 nehme, erhalte die die Gegenwahrscheinlichkeit, diese ist aber nicht das Gegenteil von der Wahrscheinlichkeit für 2x -Erfolg bzw. 2x - Misserfolg.

Die Gegenwahrcheinlichkeit erhält jeweils auch 2(1xErfolg1xMisserfolg).

Freude

Freude

Ich arbeite schon an b. und werde sie bald posten. smile

smile

04.05.2013, 15:04

Sendoh

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Zitat:

hi,

Ich glaube, ich bin etwas unstrukturiert vorgegangen.

Jap eine gute Struktur ist wichtig für die Helfer, aber ich hätte aufmerksamer sein müssen und war selbst ein wenig verwirrt.

Zitat:

2x Erfolg = 0,4^2

2x Misserfolg = 0,6^2

Richtig.

Zitat:

Wenn ich 1-(0,4)^2 oder 1-(0,6)^2 nehme, erhalte die die Gegenwahrscheinlichkeit, diese ist aber nicht das Gegenteil von der Wahrscheinlichkeit für 2x -Erfolg bzw. 2x - Misserfolg.

Ich verstehe die Aussage nicht.

04.05.2013, 15:05

Tipso

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a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Trick in einer Vorstellung zweimal
hintereinander nicht funktioniert? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Trick zweimal
hintereinander funktioniert?

a.

0,4^2

a.1

0,6^2

Zitat:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in %), dass der Trick bei 20 Versuchen mindestens 5mal gelingt?

Eindeutig Binomialverteilung mit $\begin{eqnarray*} p = 0,4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n = 20 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X\geq5) = 1 - P(X=4)+ .. + P(X=0) = 0,0504 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=4) = \begin{pmatrix} 20 \\ 4 \\ \end{pmatrix} * 0,4^4 * 0,6^{16} = 0,034 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=3) = \begin{pmatrix} 20 \\ 3 \\ \end{pmatrix} * 0,4^3 * 0,6^{17} = 0,0123 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=2) = \begin{pmatrix} 20 \\ 2 \\ \end{pmatrix} * 0,4^2 * 0,6^{18} =0,003 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=1) = \begin{pmatrix} 20 \\ 1 \\ \end{pmatrix} * 0,4^1 * 0,6^{19} =0,000487 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=0) = \begin{pmatrix} 20 \\ 0\\ \end{pmatrix} * 0,4^0 * 0,6^{20} =0,000036562 \end{eqnarray*}$

lg

04.05.2013, 15:21

Sendoh

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Zitat:

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Trick in einer Vorstellung zweimal
hintereinander nicht funktioniert? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Trick zweimal
hintereinander funktioniert?

a.

0,4^2

a.1

0,6^2

Also wenn du die Fragen in Reihenfolge beantwortest, dann sind die Antworten schon wieder vertauscht.

Zitat:

Eindeutig Binomialverteilung mit $\begin{eqnarray*} p = 0,4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n = 20 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X\geq5) = 1 - P(X=4)+ .. + P(X=0) = 0,0504 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=4) = \begin{pmatrix} 20 \\ 4 \\ \end{pmatrix} * 0,4^4 * 0,6^{16} = 0,034 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=3) = \begin{pmatrix} 20 \\ 3 \\ \end{pmatrix} * 0,4^3 * 0,6^{17} = 0,0123 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=2) = \begin{pmatrix} 20 \\ 2 \\ \end{pmatrix} * 0,4^2 * 0,6^{18} =0,003 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=1) = \begin{pmatrix} 20 \\ 1 \\ \end{pmatrix} * 0,4^1 * 0,6^{19} =0,000487 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=0) = \begin{pmatrix} 20 \\ 0\\ \end{pmatrix} * 0,4^0 * 0,6^{20} =0,000036562 \end{eqnarray*}$

lg

Exponenten mit mehr als einer Ziffer in {...} setzen. Der Ansatz ist richtig, aber ich habe jetzt nicht die genauen Wsk. überprüft.

04.05.2013, 15:26

Tipso

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Zitat:

Also wenn du die Fragen in Reihenfolge beantwortest, dann sind die Antworten schon wieder vertauscht.

Etwas läuft heute echt schief ..
Ja, es ist vertauscht.

1-(0,4)^2 bzw. 1-(0,6)^2 enthält 2x (ErfolgMisserfolg) deshalb ist es nicht richtig zu sagen:

1-(0,4)^2 = 0,6^2

x)

b.

Freude

Freude

Werde ich edieren.

c.
In Arbeit.
(Hier habe ich meine größten Schwächen).

lg

04.05.2013, 15:32

Sendoh

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Es ist auch $\begin{eqnarray*} 1-0,4²\neq 0,6² \end{eqnarray*}$ . Das hätte schon auffallen müssen. Du hattest also für das selbe Ereignis zwei verschiede Wahrscheinlichkeiten.

04.05.2013, 15:32

Tipso

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Stimmt natürlich, mir ist es nicht aufgefallen, weil ich die Probe nicht gemacht hatte. unglücklich

unglücklich

Zitat:

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in %), dass der Trick bei 1000 Versuchen mindestens440 mal gelingt?

Hier verwende ich die Normalverteilung weil n=1000 zu groß ist für die Binomialverteilung.

Zweiter Nachteil bei so hohem n, der Rechenaufwand wird bei Aufgaben die nach einer Wertemenge in in der Mitte von n sucht sehr aufwendig.

Damit meine ich Wertemenge zwischen 200 - 900.
An den Grenzen hätte ich immerhin noch 100 Rechnungen zu machen. 1-100 bzw. 900 bis 1000.

Der Übergang zu Normalverteilung erfolgt über die Formel für den Mittelwert und den Erwartungswert/Varianz.
Da hier wiederum die Arbeit zu anstrengend wäre, jedesmal das Integral der Normalvert. zu bilden, leiten wir hier durch die Formel für Z auf die Standartnormalverteilung um.

So viel zur Theory dazu.

lg

04.05.2013, 15:37

Sendoh

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OKay, hier also die Normalapproximation. Nenne mal den EW und die Varianz von einer Binomialverteilung.

04.05.2013, 15:40

Tipso

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Zitat:

c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit (in %), dass der Trick bei 1000 Versuchen mindestens440 mal gelingt?

Mit benötigter Notation:

$\begin{eqnarray*} P(X\geq440) = 1-P(X\leq439) = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu = n*p = 1000*0,4 = 400 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma = n*p(1-p) = 1000*0,4*0,6=240 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = \frac{x-\mu}{\sigma } = \frac{439-400}{240 } \end{eqnarray*}$

Hier bin ich mir nicht sicher.
x...Versuchte Anzahl der Tricks

04.05.2013, 15:50

Sendoh

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Sieht doch gut aus Freude

Freude

, aber es muss $\begin{eqnarray*} z=\frac{x-\mu}{\sqrt{\sigma}} \end{eqnarray*}$ lauten

Also: $\begin{eqnarray*} P(X\geq 440)=1-P(X\leq 439)=1-P\left(X^*\leq \frac{439-400}{\sqrt{240}}\right)\approx 1-\Phi\left( \frac{439-400}{\sqrt{240}} \right) \end{eqnarray*}$

04.05.2013, 15:51

Tipso

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hi,

Soweit verstehe ich es, eine Frage habe ich hier dennoch.

Warum nehmen wir für x = 439 und nicht 440 oder 438 verwirrt

verwirrt

04.05.2013, 15:53

Sendoh

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Weil die Zahl im Argument steht?

04.05.2013, 16:00

Tipso

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Argument.

verwirrt

$\begin{eqnarray*} P(X\geq 440)=1-P(X\leq 439)=1-P\left(X\leq \frac{439-400}{\sqrt{240}}\right)\approx 1-\Phi\left( \frac{439-400}{\sqrt{240}} \right)= 1-\Phi2,52= 1-0,99379=0,00621 = 0,62 % \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \approx \end{eqnarray*}$ weil Binomv. eine Annäherung an die Normalv. ist. verwirrt

verwirrt

04.05.2013, 16:08

Sendoh

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Laut wiki ist $\begin{eqnarray*} \Phi (2,52)=0,99413 \end{eqnarray*}$

Genau.

04.05.2013, 16:12

Tipso

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$\begin{eqnarray*} P(X\geq 440)=1-P(X\leq 439)=1-P\left(X\leq \frac{439-400}{\sqrt{240}}\right)\approx 1-\Phi\left( \frac{439-400}{\sqrt{240}} \right)= 1-\Phi2,52= 1-0,99413=0,00587 = 0,58 % \end{eqnarray*}$

04.05.2013, 16:15

Sendoh

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...abgerundet. Okay, das war mir nicht bewusst.

Ich verstehe deine Frage nicht. Wir wollen doch P(X<=439) approximieren und nicht P(X<=440) oder P(X<=438).

04.05.2013, 16:23

Tipso

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Freude

stimmt.

Es gibt ja aber einen Unterschied zwischen > und \leq. verwirrt

verwirrt

Ich habe hiermit aber allgemein Probleme. (Auch in anderen Threads).
Werde mich bemühen diese zu beheben.

Danke für deine Hilfe. Freude

Freude

04.05.2013, 16:24

Sendoh

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Du hast übrigens im vorletzten Post falsch gerundet.

Gerne doch

04.05.2013, 16:36

Tipso

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Freude

$\begin{eqnarray*} 1-0,99413=0,00587 = 0,59 % \end{eqnarray*}$

Freude

Freude

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