Gentypentwicklung

04.05.2013, 14:11	Sendoh	Auf diesen Beitrag antworten »
Gentypentwicklung Meine Frage: angehängt. Meine Ideen: Mein Ansatz ist folgender: Die Situation will ich mit einer (homogenen) Markovkette beschreiben. Da keine genaueren Angaben gemacht worden sind, sei a die absolute Anzahl der Gene vom Typ a unter den N Individuen der "0-ten" Generation, d.h. $\begin{eqnarray} a\in\left\{0,...,N\right\} \end{eqnarray}$ . Da bei der Genübermittlung mehrmals dieselbe Person aus der vorigen Generation ausgewählt werden kann, gelte für Person i der jetzigen Generation im Falle X_0=a und Person i aus der 1.Generation: $\begin{eqnarray} Y_{1,i}=\begin{cases} 1 & \text{mit Wsk. $\frac{X_0}{N}$} \\ 0 & \text{mit Wsk. $\frac{1-X_0}{N}$} \end{cases} , i=1,...,N \end{eqnarray}$ Die absolute Anzahl der Gene vom Typ a in der 1.Generation beträgt also: $\begin{eqnarray} X_1=\sum\limits_{i=1}^N Y_{1,i} \end{eqnarray}$ und allgemeiner in der n-ten Generation: $\begin{eqnarray} X_n=\sum\limits_{i=1}^N Y_{n,i} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} Y_{1,i}=\begin{cases} 1 & \text{mit Wsk. $\frac{X_{n-1}}{N}$} \\ 0 & \text{mit Wsk. $\frac{1-X_{n-1}}{N}$} \end{cases} , i=1,...,N \end{eqnarray}$ Die Anzahl der Gentypen in der n-ten Generation lässt sich dann einfach durch #a=X_n und #A=N-X-n bestimmen. Mein Problem ist, dass die $\begin{eqnarray} Y_{n,i} \end{eqnarray}$ nicht unabhängig sind, sonst könnte ich die Markoveigenschaft mit einem Satz folgern...
06.05.2013, 16:49	Sendoh	Auf diesen Beitrag antworten »
Inzwischen habe ich die Aufgabe gelöst, poste für Interessierte später die Lösung.
06.05.2013, 23:20	Sendoh	Auf diesen Beitrag antworten »
Da keine genaueren Angaben gemacht worden sind, sei a die absolute Anzahl der Gene vom Typ a unter den N Individuen der "0-ten" Generation, d.h. $\begin{eqnarray} a\in\left\{0,...,N\right\}=\text{Zustandsraum Z} \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ die Anzahl der Individuen mit Gentyp a in der n-ten Generation. Dann gilt für $\begin{eqnarray} i,j\in Z \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} p(i,j)=P(X_n+1=j\|X_n=i)=\binom{N}{j}\left(\frac{i}{N}\right)^j\left(1-\frac{i}{N}\right)^{N-j} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P=p(i,j) \end{eqnarray}$ ist eine stochastische Matrix über Z mit Anfangsverteilung $\begin{eqnarray} \mu=\delta _a \end{eqnarray}$ auf Z $\begin{eqnarray} \Rightarrow X_n \end{eqnarray}$ ist eine homogene Markovkette.

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