Jacobi-Matrizen

04.05.2013, 14:13

AmazingSam

Jacobi-Matrizen

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe zulösen und wollte mal fragen, ob meine Lösung dazu richtig ist.

Berechnen Sie die Jacobi-Matrizen der folgenden Abbildungen:

a) $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^2\Rightarrow \mathbb R : \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x,y)\Rightarrow arctan(\frac{x+y}{1-xy} ) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y\neq \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} J_{a} = \begin{pmatrix} \frac{1}{x^2+1} \\ \frac{1}{y^2+1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} g:\mathbb R ^2\Rightarrow \mathbb R ^3: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x,y\Rightarrow (xy,cosh(xy),ln(1+x^2)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} J_{g}=\begin{pmatrix} x & y \\ y\cdot sinh(xy) & x\cdot sinh(xy) \\ \frac{2x}{1+x^2} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} h:\mathbb R\Rightarrow \mathbb R: \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x,y,z\Rightarrow (3\cdot x^2\cdot y^2\cdot z+z^2\cdot x,3\cdot x\cdot sin(x^2+y),e^{xyz}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} J_{h}=\begin{pmatrix} z(6xy^2+z) & z(6yx^2+z) & 3x^2y^2+2zx \\ 3(sin(x^2+y^2)+2x^2(cos(x^2+y^2) & 6xycos(x^2+y^2) & 0 \\ yze^{xyz} & xze^{xyz} & xye^{xyz} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kann mir jemand sagen, ob das soweit richtig ist?

04.05.2013, 14:41

Che Netzer

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RE: Jacobi-Matrizen
Die Implikationspfeile haben hier nichts zu suchen und $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist nicht wohldefiniert.
Und abgesehen von fehlenden Klammern sollte es wohl außerdem $\begin{eqnarray*} \sin(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$ heißen.

Ansonsten sind hier noch Fehler:

Zitat:

Original von AmazingSam
$\begin{eqnarray*} J_{g}=\begin{pmatrix} {\color{red}x} & {\color{red}y} \\ y\cdot sinh(xy) & x\cdot sinh(xy) \\ \frac{2x}{1+x^2} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
[...]
$\begin{eqnarray*} J_{h}=\begin{pmatrix} z(6xy^2+z) & {\color{red}z(6yx^2+z)} & 3x^2y^2+2zx \\ 3(sin(x^2+y^2)+2x^2(cos(x^2+y^2) & 6xycos(x^2+y^2) & 0 \\ yze^{xyz} & xze^{xyz} & xye^{xyz} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

04.05.2013, 16:26

AmazingSam

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Für die Pfeile habe ich nur die Implikationspfeile gefunden. $\begin{eqnarray*} sin(x^2+y^2) \end{eqnarray*}$ ist richtig. Bei der $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ hätte es eigentlich heißen müssen $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3\Rightarrow \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$

In der ersten Matrix habe ich xy zuerst nach y und dann nach x abgeleitet. In diesem Fall müsste ich x und y vertauschen.

Zu Matrix 2:

$\begin{eqnarray*} 3x^2y^2z+z^2x \end{eqnarray*}$ nach y abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} 6x^2yz \end{eqnarray*}$

jetzt müsste es aber richtig sein...

04.05.2013, 16:33

Che Netzer

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Zitat:

Original von AmazingSam
Bei der $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ hätte es eigentlich heißen müssen $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3\Rightarrow \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$

Nein, $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3\to\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

Der Rest stimmt, wenn du meinst, dass du die Einträge der ersten Zeile in $\begin{eqnarray*} J_g \end{eqnarray*}$ vertauschen musst.

04.05.2013, 16:49

AmazingSam

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jep.. das meinte ich smile

. Dankeschön

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