Zusammenhang der Determinanten von invertierbare Matrix zu komplementärer Matrix

04.05.2013, 15:36	Feete	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang der Determinanten von invertierbare Matrix zu komplementärer Matrix Hallo ihr Lieben, ich könnte etwas Hilfe zu folgender Aufgabe gebrauchen. Sei $\begin{eqnarray} A \in K^{nxn} \end{eqnarray}$ eine beliebige invertierbare Matrix und $\begin{eqnarray} A^ {} \end{eqnarray}$ die zu $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ komplementäre Matrix. Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} det(A^ {}) = (detA)^ {n-1} \end{eqnarray}$ So ich weiss: $\begin{eqnarray} A^{-1}= \frac{1}{detA} A^ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^{-1} \cdot detA=A^* \end{eqnarray}$ einsetzen in die linke Seite: $\begin{eqnarray} det (A^)=det (A^{-1} \cdot det(A)) \end{eqnarray}$ Da die Determinante von A ja nur irgendeine Konstante $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist kann ich die nach der multilinearität aus der Determinante folgendermaßen rausziehen: Es gilt: $\begin{eqnarray} det(\lambda \cdot A) = \lambda^n det(A) \end{eqnarray}$ Das haben wir auf einem früheren Übungszettel schon gezeigt. Für die Aufgabe gilt nun: $\begin{eqnarray} det(A^{-1} \cdot det(A)) = (det A)^n \cdot det(A^{-1}) = (detA)^n \cdot (det A)^{-1} = (det A)^{n-1} \end{eqnarray}$ Ist das denn so richtig? Also auch was die mathematische Argumentation angeht? Wäre lieb wenn jemand mal rüberschaut! Vielen Dank LG
04.05.2013, 15:51	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhang der Determinanten von invertierbare Matrix zu komplementärer Matrix Wenn $\begin{eqnarray} \det(A^{-1})=(\det A)^{-1} \end{eqnarray}$ bekannt ist, geht das so.
04.05.2013, 17:18	Feete	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zusammenhang der Determinanten von invertierbare Matrix zu komplementärer Matrix Super! Vielen Dank. Ich schau mal lieber noch einmal in die VL-Unterlagen bevor ich das als gegeben voraussetze DANKE!

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