Differentialgleichungen

04.05.2013, 15:38

nand

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Differentialgleichungen

Meine Frage:
Hallo leute das dgl thema macht mich im moment fertig.

Aufgabe:

Bestimmen sie die allgemeine Lösung der Dgl:

$\begin{eqnarray*} y'' + 6y' +13y = -5 - 39x +e^{-x} \end{eqnarray*}$

Ansatz:

$\begin{eqnarray*} a^2 + 6a +13 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_1 = -3 +2i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_2 = -3 - 2i \end{eqnarray*}$

Aber wie schreibe ich genau die homogene Dgl davon auf ?

Bin verzweifelt.

Bitte hilft mir.

Meine Ideen:
gepostet

04.05.2013, 21:09

nand

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Hat jemand von euch paar tips für mich?

04.05.2013, 22:18

Kasen75

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Hallo,

wenn die Lösungen der charakteristischen Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda_1=a+bi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2=a-bi \end{eqnarray*}$ sind, dann ist die homogene Lösung: $\begin{eqnarray*} y_H=C_1 \cdot e^{ax}\cdot cos(bx) +C_2 \cdot e^{ax}\cdot sin(bx) \end{eqnarray*}$

Grüße.

04.05.2013, 22:30

nand

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Aha ok .

Dann wäre das die homogene Lösung:

$\begin{eqnarray*} y_h = c_1*e^{-3x}*cos(2x) +c_2 *e^{-3x}*sin(2x) \end{eqnarray*}$

Jetzt zu der rechten Seite:

$\begin{eqnarray*} -5 -39x + e^{-x} = 0 \end{eqnarray*}$

Soll ich das hier als störfunktion benutzen:

x*e^kx *(c_1*cos(lx)+ d_1*sin(lx))?

04.05.2013, 22:55

Kasen75

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Als Störfunktion würde ich die Kombination (Addition) aus $\begin{eqnarray*} b_1\cdot e^{ax} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_2+b_3x \end{eqnarray*}$ als Störfunktion verwenden. Also $\begin{eqnarray*} b_1\cdot e^{ax}+b_2+b_3x \end{eqnarray*}$

Die homogene Lösung stimmt schon mal.

Warum nimmst du immer verschiedene Buchstaben für deine Koeffizienten?

05.05.2013, 00:11

nand

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Wie benutze ich jetzt diese Formel ?

Das macht mir Schwierigkeiten.

Weißt du woran ich merke welche Funktion ich benutzen soll ?

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05.05.2013, 00:35

Kasen75

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Zitat:

Weißt du woran ich merke welche Funktion ich benutzen soll ?

Die rechte Seite ist ja aus zwei Funktionstypen zusammengesetzt. Einmal eine lineare Funktion und dann eine Exponentialfunktion. Deswegen diese, mittels Addition, zusammengesetzte Funktion.

Zitat:

Wie benutze ich jetzt diese Formel ?

$\begin{eqnarray*} y_I=b_1\cdot e^{ax}+b_2+b_3x \end{eqnarray*}$

Diese Funktion zweimal ableiten. Dann jeweils die Ausdrücke für $\begin{eqnarray*} y_I,y_I' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_I'' \end{eqnarray*}$ in diese Gleichung $\begin{eqnarray*} y'' + 6y' +13y = -5 - 39x +e^{-x} \end{eqnarray*}$ einsetzen. Dann die rechte Seite, durch Ausklammern, so zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} b_1e^{ax}(\ldots)+b_2(\ldots)+b_3x(\ldots) \end{eqnarray*}$

Danach einen Koefizientenvergleich zwischen der rechten und linken Seite durchführen und somit die Werte für $\begin{eqnarray*} a, b_1, b_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_3 \end{eqnarray*}$ ermitteln.

05.05.2013, 01:04

nand

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Tut mir leid ich verstehe immer noch nicht so genau wie kommst du auf diese störfunktion ?

Hast du für -5 -39x einfach a+bx genommen oder wie?

05.05.2013, 01:06

Kasen75

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Ja.

smile

05.05.2013, 01:14

nand

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Könnte meine störfunktion auch so lauten ?

a_1* e^ax + ax + b ?

Dann y' = a^2*e^ax +a

y" = a^3 *e^ax + 1

Würde das so stimmen ?

05.05.2013, 01:32

Kasen75

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Zitat:

Könnte meine störfunktion auch so lauten ?

$\begin{eqnarray*} a_1* e^{ax} + ax + b \end{eqnarray*}$ ?

Nicht ganz. Da der Parameter des Exponenten sich vom Parameter für die Steigung der linearen Funktion unterscheiden muss.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a_1* e^{ax} + ax + b \end{eqnarray*}$

Dann $\begin{eqnarray*} y' = a^2*e^{ax} +a \end{eqnarray*}$

Du hast ja, richtigerweise, den Parameter vor der Exponentialfunktion von dem Exponenten unterschieden, indem du dem einen Index verpasst hast.
Diesen kannst du dann aber nicht bei der Ableitung verschwinden lassen und dann die beiden Parameter vermischen.

Mein Vorschlag:

$\begin{eqnarray*} y_p=b_1* e^{ax} + b_3x + b_2 \end{eqnarray*}$

Die erste Ableitung ist dann:

$\begin{eqnarray*} y_p'=a \cdot b_1 \cdot e^{ax}+b_3 \end{eqnarray*}$

Du siehst, dass du zwei verschiedene Faktoren vor der Exponentialfunktion hast.

Wie ist jetzt die zweite Ableitung ?

05.05.2013, 01:51

nand

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Das wäre die 2 Ableitung:

$\begin{eqnarray*} y'' = a^2*b_1*e^{ax} \end{eqnarray*}$

Jetzt einsetzen:

Soweit richtig?

05.05.2013, 02:06

Kasen75

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Die 2. Ableitung ist richtig. Freude

Freude

Auch das Einsetzen hast eigentlich gut geklappt. Nur hast du, aus irgendeinem Grund, $\begin{eqnarray*} +13y \end{eqnarray*}$ weggelassen. Das müsstest du natürlich auch noch hinschreiben-nätürlich den Ausdruck für $\begin{eqnarray*} y_p \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} y_l \end{eqnarray*}$ einsetzen.
$\begin{eqnarray*} y_l \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_p \end{eqnarray*}$ ist das gleiche. l steht für inhomogen und p für partikulär.

Danach erstmal alle Klammern, durch Ausmultiplizieren, entfernen.

05.05.2013, 02:13

nand

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Harte Aufgabe .

Wie gehe ich weiter vor?

05.05.2013, 02:41

Kasen75

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Du hast nicht das ganze y mit 13 multipliziert.

$\begin{eqnarray*} 13*y=13b_1\cdot e^{ax}+13b_2+13b_3x \end{eqnarray*}$

Sonst stimmts.

Damit ergbit sich:

$\begin{eqnarray*} b_1\cdot e^{\textcolor{red}{a}x} \cdot (a^2+6a+13)+\textcolor{blue}{13\cdot b_3}\cdot x+\textcolor{green}{(6b_3+13b_2)}= \textcolor{green}{-5} \textcolor{blue}{- 39}x + 1 \cdot e^{\textcolor{red}{-1}x} \end{eqnarray*}$

Ich habe einige Ausdrücke farblich dargestellt, die du vergleichen musst.

Da du für a den Wert ablesen kannst, kannst du $\begin{eqnarray*} (a^2+6a+13) \end{eqnarray*}$ auch gleich ausrechnen.

Somit kannst du dann auch die Gleichung $\begin{eqnarray*} b_1\cdot (a^2+6a+13)=1 \end{eqnarray*}$ aufstellen.

Die 1 ist der Koeffizient (Faktor) von $\begin{eqnarray*} 1 \cdot e^{-1x} \end{eqnarray*}$

Bei den grünen und blauen Koeffizientenvergleichen ergeben sich jeweils dann noch 2 Gleichungen.

05.05.2013, 10:52

nand

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Ich hab mal die Werte ausgerechnet:

Ich poste mal die Ergebnisse :

b_3 = -3

b_2= 1

Aber Wäsche ich bei dieser Gleichung:

a^2 + 6a+13 = 0

Hier bekomme ich ja wieder a = -3+-2i raus.

Was mache ich jetzt genau hier?

05.05.2013, 14:14

Kasen75

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Deine Werte für $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_3 \end{eqnarray*}$ stimmen. Freude

Freude

Den Wert für Parameter a bestimmst du, indem du die beiden (roten) Exponenten vergleichst:

$\begin{eqnarray*} b_1\cdot {\huge{\text{$e^{\textcolor{red}{a}x}$}}} \cdot (a^2+6a+13)+\textcolor{blue}{13\cdot b_3}\cdot x+\textcolor{green}{(6b_3+13b_2)}= \textcolor{green}{-5} \textcolor{blue}{- 39}x + 1 \cdot {\huge{\text{$e^{\textcolor{red}{-1}x}$}}} \end{eqnarray*}$

Ich denke, dass man es jetzt gut erkennen kann, was zu vergleichen ist. Big Laugh

Big Laugh

Den Ausdruck $\begin{eqnarray*} a^2 + 6a+13 \end{eqnarray*}$ kannst du dann auch ganz konkret ausrechnen, da du jetzt den Wert für a kennst.

Dann kommst du über den Vergleich der Koeffizienten (Faktoren) der e-Funktionen zu dieser Gleichung,

$\begin{eqnarray*} b_1\cdot (a^2+6a+13)=1 \end{eqnarray*}$ ,

und du kannst den Wert für $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

05.05.2013, 14:23

nand

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Oh mann das war ja wirklich simpel .

Das wäre dann doch :

a= -1 ?
Ich hoffe ich hab mich jetzt nicht blamiert.

Stimmt das ?

Dann könnte man das machen :

20 b_1 = 1

b_1 = 1/20

Richtig?

05.05.2013, 14:37

Kasen75

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$\begin{eqnarray*} a=-1 \end{eqnarray*}$ stimmt natürlich.

Jetzt nur noch $\begin{eqnarray*} a^2 + 6a+13 \end{eqnarray*}$ richtig berechnen.

Zitat:

Ich hoffe ich hab mich jetzt nicht blamiert.

Nein, hast du nicht.

05.05.2013, 14:41

nand

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8b1 = 1

b1 = 1/8

Jetzt müsste es stimmen .

RIchtig? smile

smile

05.05.2013, 14:42

Kasen75

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Richtig.

05.05.2013, 14:49

nand

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EIne frage hätte ich noch .

Nach meiner Musterlösung kommt das raus :

y= e^{-3x} * (k_1 *cos(2x) + k_2 *sin(2x) ) +1-3x+1/8 * e^{-x}

Ich verstehe nicht wie die auf das hier kommen:

e^{-3x} * (k_1 *cos(2x) + k_2 *sin(2x) )

WIe kommen die auf diese homogene Lösung ?

Das verstehe ich nicht.

05.05.2013, 15:00

Kasen75

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Ich habe nochmal nachgeschaut. Ich hatte es eigentlich schon im meinem ersten Beitrag geschrieben, wie man auf die homogene Lösung kaommt.

Zitat:

Original von Kasen75
Hallo,

wenn die Lösungen der charakteristischen Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda_1=a+bi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2=a-bi \end{eqnarray*}$ sind, dann ist die homogene Lösung: $\begin{eqnarray*} y_H=C_1 \cdot e^{ax}\cdot cos(bx) +C_2 \cdot e^{ax}\cdot sin(bx) \end{eqnarray*}$

Bei dir ist $\begin{eqnarray*} a=-3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=2 \end{eqnarray*}$ .

Das ist immer so bei komplexen Lösungspaaren.

05.05.2013, 15:19

nand

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Ah ok habs wohl übersehen .

Da gibt es ja noch eine weitere störfunktion die genauso aussieht wo man noch *x dabei hat.

Woher weiss ich denn wann ich diese oder die andere benutzen muss ?

Das verwirrt mich jedesmal?

05.05.2013, 15:45

Kasen75

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Es steht z.B. hier wann man welchen Ansatz benutzt. Es sind sogar Beispiele aufgeführt.
Ich habe mir aber nicht alles durchgelesen.
Du müsstest eigentlich auch so eine Tabelle in deinen Unterlagen haben.

05.05.2013, 15:49

nand

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Ja ich habe eine tabelle aber ich merk irgendwie nie wann ich was anwenden soll.

Ich habe gerade ne Aufgabe gepostet.

Woran ich weiter übe.

Vielleicht kannst du mir da weiter helfen?

Ansonsten natürlich danke.

05.05.2013, 16:22

Kasen75

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Gerne. Freut mich, dass es mit dieser Aufgabe geklappt hat. smile

smile

Die Tabelle auf der verlinkten Seite ist eigentlich gut handlebar bzw. gut zu interpretieren. Mit dieser kannst du gut arbeiten.

Bei der anderen Aufgabe, bist du, mit Che Netzer als Helfer, bestens aufgehoben-besser als bei mir. Big Laugh

Big Laugh

Grüße.

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