Vereinigung

04.05.2013, 15:58

wolfgang-e

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Vereinigung

Hallo,
ständig gebrauchen wir in Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie diese Formel (beim Nachweis von Algebren und Sigma-Algebren):
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{n \in \mathbb{N}} (0,1-\tfrac{1}{n}]=(0,1) \end{eqnarray*}$
Leider ist mir diese sehr unklar, vielleicht könnte sie mir jemand herleiten bzw. beweisen, falls das möglich ist oder habe ich ein Vorstellungsproblem?
Lg Wolfi

04.05.2013, 16:22

Sendoh

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Du könntest das folgendermaßen betrachten. Sei $\begin{eqnarray*} I_n=\cup_{i=1}^n \left(0,1-\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ eine Folge von Intervallen. Es ist offensichtlich, dass $\begin{eqnarray*} I_1\subset I_2\subset ... \end{eqnarray*}$ .
Grenzwertbetrachtung liefert nun die Aussage.

04.05.2013, 16:56

wolfgang-e

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Hmm, mir ist leider nicht klar, warum jetzt die Behauptung folgen sollte. Außerdem verwendest du eine offene Klammer, wo in der Voraussetzung doch eine geschlossene steht?

04.05.2013, 18:50

wolfgang-e

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Wenn ich deine Folge verwende, aber eben mit der geschlossenen Klammer, wie in der Voraussetzung, komme ich auf (0,1] durch Limesbildung, statt auf (0,1), wo liegt der Fehler?

04.05.2013, 21:03

Che Netzer

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Wenn $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ der "Grenzwert" wäre, wenn also
$\begin{eqnarray*} (0,1]=\bigcup_{n\in\mathbb N}\left(0,1-\frac1n\right]\,, \end{eqnarray*}$
dann müsste $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ in irgendeinem der Intervalle liegen, über die vereinigt wird.
So einfach kannst du den Limes nicht in die Intervall enden ziehen.
Analog: $\begin{eqnarray*} \frac1n{\color{red}>}0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\frac1n{\color{red}\geq}0 \end{eqnarray*}$ .

04.05.2013, 21:36

Sendoh

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Ups, ich hatte die eckige Klammer nicht beachtet. Tut mir leid unglücklich

unglücklich

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04.05.2013, 22:01

wolfgang-e

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Wie zeigt man es dann, wenn man den limes nicht ins Intervall ziehen darf?

04.05.2013, 22:28

Che Netzer

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Zeige: Jedes Element von $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ ist in irgendeinem Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1-\tfrac1n) \end{eqnarray*}$ enthalten.

Denn $\begin{eqnarray*} \bigcup(0,1-\tfrac1n)\subset(0,1) \end{eqnarray*}$ ist klar, da jedes der linken Intervalle Teilmenge von $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ ist.

04.05.2013, 23:07

wolfgang-e

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Warum ohne eckige Klammer? Das verstehe ich nicht.
Außerdem, wenn ich das zeigen könnte, hätte ich die Frage nicht gestellt...

04.05.2013, 23:30

Che Netzer

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Die eckigen Klammern fehlen, um nochmals zu betonen, dass sie hier keine Rolle spielen.

Dann nimm dir mal ein $\begin{eqnarray*} x\in(0,1) \end{eqnarray*}$ . Jetzt finde ein von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängiges $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} x\in(0,1-\tfrac1n) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x\in(0,1-\tfrac1n] \end{eqnarray*}$ – d.h. $\begin{eqnarray*} x<1-\frac1n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x\le1-\frac1n \end{eqnarray*}$ .

05.05.2013, 01:25

wolfgang-e

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Ok danke schon mal, sorry für meine Dummheit. Dann werde ich jetzt einfach mal deine Anweisungen befolgen, vielleicht verstehe ich es am Ende ja.
Also ich habe mir jetzt ein solches von x abhängiges n gesucht, es dürfte so ausschauen:
$\begin{eqnarray*} n>\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

05.05.2013, 01:31

wolfgang-e

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Zitat:

Original von Che Netzer
Zeige: Jedes Element von $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ ist in irgendeinem Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1-\tfrac1n) \end{eqnarray*}$ enthalten.

Intuitiv ist mir das sofort klar, nur wie man es eben formal anschreibt, damit habe ich meine Probleme.
Das nächste Problem ist eben, warum die "1" eben nicht mehr enthalten ist. Man könnte ja meinen, dass über alle n vereinigt wird und daher irgendwann nur mehr "0" abgezogen wird.

05.05.2013, 09:25

Che Netzer

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Zitat:

Original von wolfgang-e
Also ich habe mir jetzt ein solches von x abhängiges n gesucht, es dürfte so ausschauen:
$\begin{eqnarray*} n>\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

Ja, genau. Wenn wir ein $\begin{eqnarray*} n_x \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x\in(0,1) \end{eqnarray*}$ so wählen, dann ist auch $\begin{eqnarray*} x\in(0,1-\tfrac1{n_x}] \end{eqnarray*}$ .
Für jedes $\begin{eqnarray*} x\in(0,1) \end{eqnarray*}$ gibt es also ein $\begin{eqnarray*} n_x\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in(0,1-\tfrac1{n_x}]\subset\bigcup_{n\in\mathbb N}(0,1-\tfrac1n] \end{eqnarray*}$ .

05.05.2013, 09:31

wolfgang-e

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Ok danke!
Und der Fall x=1 ist ausgeschlossen, da 1/0 nicht definiert ist.
Ist das korrekt so?

05.05.2013, 09:39

Che Netzer

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Ja, $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ ist in keinem Intervall der Form $\begin{eqnarray*} (0,1-\tfrac1n] \end{eqnarray*}$ enthalten.

05.05.2013, 14:04

wolfgang-e

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Ok, vielen Dank Che!

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