Differenzierbarkeit einer Wurzelfunktion

04.05.2013, 16:53

Flippa

Differenzierbarkeit einer Wurzelfunktion

Hallo,

ich muss folgende Aufgabe lösen:

Man untersuche, wo die Funktion f(x) differenzierbar ist und bestimme dort f´(x)

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\sqrt{x^2-4x+4}}{\sqrt{x^2-6x+3}} \end{eqnarray*}$

Meine Überlegung war, dass ich zuerst einmal den Definitionsbereich bestimme, d.h. $\begin{eqnarray*} x^2-6x+3 > 0 \end{eqnarray*}$
Hab diese Gleichung auf 0 gesetzt und gelöst.

$\begin{eqnarray*} x = 3 \pm \sqrt{6} \end{eqnarray*}$

Danach hab ich $\begin{eqnarray*} x^2-6x+3 \end{eqnarray*}$ als Produkt angeschrieben und durch Fallunterscheidung so die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x^2-6x+3 > 0 \end{eqnarray*}$ gelöst.

Als Definitionsbereich hab ich folgendes herausbekommen: $\begin{eqnarray*} D = (-\infty ; 3-\sqrt{6}) \cup (3+\sqrt{6} ; +\infty ) \end{eqnarray*}$

Da die Funktion f(x) also in $\begin{eqnarray*} [3-\sqrt{6};3+\sqrt{6}] \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist, kann sie dort auch nicht differenzierbar sein. Ist das soweit noch korrekt?

Als nächstes hab ich f(x) vereinfacht:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\sqrt{x^2-4x+4}}{\sqrt{x^2-6x+3}} = \frac{\sqrt{(x-2)^2}}{\sqrt{x^2-6x+3}} = \frac{|x-2|}{\sqrt{x^2-6x+3}} \end{eqnarray*}$

Jetzt stehe ich irgendwie an. Wie kann ich nun am besten zeigen, dass f(x) in D differenzierbar ist?

MfG

04.05.2013, 18:04

original

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RE: Differenzierbarkeit einer Wurzelfunktion

Zitat:

Original von Flippa

Da die Funktion f(x) also in $\begin{eqnarray*} [3-\sqrt{6};3+\sqrt{6}] \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist, kann sie dort auch nicht differenzierbar sein.

..................................................... Ist das soweit noch korrekt? Freude

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{\sqrt{x^2-4x+4}}{\sqrt{x^2-6x+3}} = \frac{\sqrt{(x-2)^2}}{\sqrt{x^2-6x+3}} = \frac{|x-2|}{\sqrt{x^2-6x+3}} \end{eqnarray*}$

Jetzt stehe ich irgendwie an. Wie kann ich nun am besten zeigen, dass f(x) in D differenzierbar ist?

sowohl Zähler als auch Nenner sind in D diffbare Funktionen
mit der Quotientenregel kann also direkt sogar die mögliche Ableitung ermittelt werden ..

ok?

04.05.2013, 18:14

Flippa

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RE: Differenzierbarkeit einer Wurzelfunktion
Danke für die schnelle Antwort smile

Zitat:

Original von original
sowohl Zähler als auch Nenner sind in D diffbare Funktionen

Wie sieht das?

Zitat:

Original von original
mit der Quotientenregel kann also direkt sogar die mögliche Ableitung ermittelt werden ..

Ok, dann leit ichs mal ab.

04.05.2013, 18:34

Flippa

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Sorry für Doppelpost.

Hab für f´(x):

$\begin{eqnarray*} f´(x) = \frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+4}\cdot \sqrt{x^2-6x+3} } - \frac{(x-3)\cdot \sqrt{x^2-4x+4}}{(x^2-6x+3)\cdot \sqrt{x^2-6x+3}} \end{eqnarray*}$

Somit ist f(x) in ganz D diffbar?

04.05.2013, 18:52

original

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Zitat:

Original von Flippa

Hab für f´(x):

$\begin{eqnarray*} f´(x) = \frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+4}\cdot \sqrt{x^2-6x+3} } - \frac{(x-3)\cdot \sqrt{x^2-4x+4}}{(x^2-6x+3)\cdot \sqrt{x^2-6x+3}} \end{eqnarray*}$

aber das ist doch nicht die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{|x-2|}{\sqrt{x^2-6x+3}} \end{eqnarray*}$

Vorschlag: schau mal nach, wie die Quotientenregel aussieht und wende sie dann richtig an ..

nebenbei:
beachte, dass du dann auch noch mit einer Fallunterscheidung für die beiden getrennt
liegenden Teile von D arbeiten solltest.

.

04.05.2013, 19:34

Flippa

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Zitat:

Original von original
geschockt

Ich hab die Funktion von der Angabe und nicht die vereinfachte differenziert. Warum ist das falsch?

Zitat:

Original von original
nebenbei:
beachte, dass du dann auch noch mit einer Fallunterscheidung für die beiden getrennt
liegenden Teile von D arbeiten solltest.
.

Meinst du, dass |x-2| somit kleiner als 0 und größer als 0 sein kann und ich somit 2 Funktionen erhalte, die ich dann differenzieren muss?

MfG

04.05.2013, 19:52

original

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Zitat:

Original von Flippa

Ich hab die Funktion von der Angabe und nicht die vereinfachte differenziert. Warum ist das falsch?

-> weil du offenbar die Quotientenregel nicht richtig verwendest

Meinst du, dass |x-2| somit kleiner als 0 und größer als 0 sein kann und ich somit 2 Funktionen erhalte, die ich dann differenzieren muss? verwirrt

->
im Prinzip ja:

denn für $\begin{eqnarray*} x \in (-\infty ; 3-\sqrt{6}) \end{eqnarray*}$
ist x-2 negativ

und für $\begin{eqnarray*} x \in (3+\sqrt{6} ; +\infty ) \end{eqnarray*}$
ist x-2 positiv ..

also ...

04.05.2013, 20:18

Flippa

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Ok.

1. Fall: |x-2| > 0

Somit ist $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x-2}{\sqrt{x^2-6x+3}} \end{eqnarray*}$

Nach der Qutorientenregel

$\begin{eqnarray*} (\frac{a(x)}{b(x)})' = \frac{a'(x)\cdot b(x)-a(x)\cdot b'(x)}{b(x)^2} \end{eqnarray*}$

ist $\begin{eqnarray*} a(x) = x - 2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b(x) = \sqrt{x^2-6x+3} \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich $\begin{eqnarray*} a'(x) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left(x^2-6x+3\right)^{\frac{-1}{2}}\cdot (2x-6) = \frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+3}} \end{eqnarray*}$

Demnach ist $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{\sqrt{x^2-6x+3}-(x-2)\cdot \frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+3}}}{x^2-6x+3} \end{eqnarray*}$

2. Fall: |x-2| < 0

Somit ist $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{2-x}{\sqrt{x^2-6x+3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a(x) = 2-x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b(x) = \sqrt{x^2-6x+3} \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich $\begin{eqnarray*} a'(x) = -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left(x^2-6x+3\right)^{\frac{-1}{2}}\cdot (2x-6) = \frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{-\sqrt{x^2-6x+3}-(2-x)\cdot \frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+3}}}{x^2-6x+3} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

MfG

04.05.2013, 20:34

original

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Zitat:

Original von Flippa
Ok.

1. Fall: |x-2| > 0 Wink

2. Fall: |x-2| < 0 geschockt

Beträge sind immer positv !

..

Demnach ist (.. je nach Fall : )

$\begin{eqnarray*} f'(x) =( \pm ) \frac{\sqrt{x^2-6x+3}-(x-2)\cdot \frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+3}}}{x^2-6x+3} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

.. ja - aber das kannst du doch noch wesentlich vereinfachen? ->..

.

04.05.2013, 20:40

thk

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Zitat:

Original von Flippa
$\begin{eqnarray*} f' (x) = \frac{x-2}{\sqrt{x^2-4x+4}\cdot \sqrt{x^2-6x+3} } - \frac{(x-3)\cdot \sqrt{x^2-4x+4}}{(x^2-6x+3)\cdot \sqrt{x^2-6x+3}} \end{eqnarray*}$

Ich checke sowas gern mit meinem Programm und f' ist für ganz D_f korrekt! Der Ausdruck lässt sich freilich vereinfachen.

Natürlich lässt sich der vereinfahte Ausdruck für f besser ableiten (auch mit Beträgen möglich).

Und wech

04.05.2013, 21:12

Flippa

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Ouh, das mit den Beträgen war ein blöder Fehler.

Nach der Vereinfachung hab ich folgendes erhalten:

$\begin{eqnarray*} f'_{1} = \frac{-(x+3)}{\sqrt{(x^2-6x+3)^3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'_{2} = \frac{(x+3)}{\sqrt{(x^2-6x+3)^3}} \end{eqnarray*}$

Also hab ich für beide Bereiche des Definitionsbereichs Ableitungen gefunden und somit ist f(x) in D stetig.
Den Fall (x-2) = 0 braucht man nicht betrachten, weil x=2 nicht im Definitionsbereich liegt. Korrekt?

MfG

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