Gleichmäßige Konvergenz einer Potenzreihe

04.05.2013, 17:01	Spitzname:	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Konvergenz einer Potenzreihe Meine Frage: Hallo, ich soll für die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{1-x^k} \end{eqnarray}$ (a) für jedes $\begin{eqnarray} x\in (0,1) \end{eqnarray}$ punktweise Konvergenz zeigen und (b) für jedes $\begin{eqnarray} r \in (0,1) \end{eqnarray}$ gleichmäßige Konvergenz auf dem Intervall $\begin{eqnarray} [-r,r] \end{eqnarray}$ zeigen. Meine Ideen: Ich denke, dass ich hierfür zunächst den Konvergenzradius der Potenzreihe bestimmen sollte. Hieran scheitert es jedoch schon. Ich würde gerne dafür zunächst den Term $\begin{eqnarray} \frac{x^k}{1-x^k} \end{eqnarray}$ in die Form $\begin{eqnarray} a_n (x-x_0)^k \end{eqnarray}$ bringen. Doch irgendwie gelingt mir das nicht. Könnte mir jemand weiterhelfen? Ist das überhaupt der richtige Ansatz? PS: Punktweise Konvergenz haben wir wie folgt definiert: $\begin{eqnarray} (f_n)_{n\in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ heißt gleichmäßig konvergent gegen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gdw. $\begin{eqnarray} \forall \epsilon >0 \forall x\in [0,1] \exists n_0\in \mathbb{N} \forall n\ge n_0 : \|f_n(x)-f(x)\|\le\epsilon \end{eqnarray}$ .
04.05.2013, 19:28	Spitzname:	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Potenzreihe Kann mir wirklich niemand weiterhelfen?

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