Vektorraumaxiomspielerei

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Studentin123 Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraumaxiomspielerei
Meine Frage:
Hi,
ich habe folgendes Problem:
Für (V, K) (V ist ein Vektorraum, K ein Körper) gelten alle Vektorraumaxiome gelten, mit Außnahme von 1*v=v ,v Element V und 1 Element K.

Zu zeigen ist Folgendes: x Element V lässt sich als Summe x= a+b darstellen, wobei a,b Element V sind und gilt: 1*a=a und 1*b=0

Meine Ideen:
Mir ist klar, dass man hier mit den Axiomen herumspielen muss, wobei das genannte eben nicht gilt.

ich habe schon einige Umformungen begonnen, so zum Beispiel
x= x+0= x+0*a=x+(1*b)*a=x+b*(1*a)=x+b*a.... Das bringt mich aber leider alles nicht weiter. Ich finde einfach den Knackpunkt nicht.

Das ist wahrscheinlich genauso trickreich, wie wenn man zeigen möchte, dass ein Vektor x mal den Nullvektor 0 auch wieder der Nullvektor ist. da beginnt man ja x*0+x*0=x*(0+0)=x*0 <=> x*0=0 (wenn man auf beiden Seiten x*0 subtrahiert).

Für Anregungen wäre ich sehr dankbar!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraumaxiomspielerei
Was soll den b*a sein?

Naja, betrachte lieber .
Das soll dann nämlich entsprechen.

Übrigens: Ausnahme schreibt sich mit s, nicht mit ß.
Studentin123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraumaxiomspielerei
Das kann man dann umformen zu 1*x=a, was uns aber auch nicht weiterhilft, oder? Denn 1*x ist ja nicht x...???
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraumaxiomspielerei
Es ist zwar nicht zwingend , aber wir können setzen.
Wenn wir außerdem setzen, sind dann alle Anforderungen erfüllt?
Studentin123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraumaxiomspielerei
Aber man kann ja nicht einfach b als x-a setzen. Das ist ja nur die umgestellte Gleichung, die es zu zeigen gilt. Ich denke viel mehr, dass man hier mit den übrigen Verktorraumaxiomen, sprich Assoziativ und Distributivgesetz weiterkommen sollte... Irgendwelche Ideen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraumaxiomspielerei
Erst definieren wir .
Jetzt haben wir also und .
Um die gewünschte Gleichung zu erhalten, müssen wir als definieren.
Natürlich ist dann , aber zu zeigen sind ja die Eigenschaften von und .
 
 
Studentin123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraumaxiomspielerei
Oh, dann habe ich mich wohl undeutlich ausgedrückt. Man soll nicht die genannten Eigenschaften von a und b zeigen, sondern zeigen, dass sich x als Summe von zwei Vektoren a und b darstellen lässt, die die genannten Eigenschaften besitzen. Also sind irgendwelche Umformungen von Nöten....
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraumaxiomspielerei
Nein, ich habe schon verstanden, was man zeigen muss Augenzwinkern
Wir haben jetzt jedenfalls in zerlegt. Das war nicht das Problem, wir hätten auch schreiben können, aber das hätte nichts gebracht.
Nachdem wir also zwei Vektoren und definiert haben und wissen, bleibt noch zu zeigen, dass und die genannten Eigenschaften besitzen.

Das ist generell eine übliche Vorgehensweise bei Beweisen solcher Zerlegungen: Man definiert sich einen Teil der Zerlegung so, wie man ihn haben möchte und definiert den anderen dann über die entsprechende Differenz. Dann überprüft man, ob alles funktioniert.
Studentin123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraumaxiomspielerei
Aber wie zeige ich dass denn jetzt? Nach unseren Definitionen gilt jetzt:

a+b= 1*x+x-a
Sehe ich daran, ob die Eigenschaften stimmen?

1*b= 1*(x-a)=1*x-1*a=1*x-1*(1*x)=1*x-1*x=0
1*a=1*(1*x)=(1*1)*x=1*x=a

Aber das kann doch nicht der Sinn der Aufgabe sein, oder?
Kannst du mir das noch mal irgendwie erklären?

Vielen Dank schon mal!!!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraumaxiomspielerei
Zitat:
Original von Studentin123
1*b= 1*(x-a)=1*x-1*a=1*x-1*(1*x)=1*x-1*x=0
1*a=1*(1*x)=(1*1)*x=1*x=a

Ja.
Aber du zeigst besser erst und dann .

Das ist aber durchaus der Sinn der Aufgabe.
Wir definieren und und zeigen, dass diese Vektoren die geforderten Eigenschaften erfüllen. Dass gilt, kriegen wir dabei geschenkt.
studentin123 Auf diesen Beitrag antworten »
Danke
Vielen Dank nochmal. Ich hab jetzt ne Nacht drüber geschlafen, und das Beweiseverfahren verstanden. Vielen Dank für deine Hilfe!!!!!
crank Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraumaxiomspielerei
Hallo,

Eine etwas andere Frage, bist du zufällig in FFM eingeschrieben? Habe eine Frage, wie ich den Dozenten bzw den Verantwortlichen für die Übungsuafgaben erreichen kann.
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