Entwicklung einer Taylorreihe

04.05.2013, 20:09

Ana2

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Entwicklung einer Taylorreihe

Meine Frage:
Hallo ihr Lieben,

mache gerade das Übungsblatt für Analysis 2! Nun soll man die Taylorreihe der Funktion g(x) = -3/(x^2 + x -2)^(-1) im Punkt x = 0 entwickeln.

Ich weiß, dass ich dafür die k-te Ableitung brauche.

Meine Ideen:

Ich weiß, dass ich dafür die k-te Ableitung brauche. Muss ich dabei die k-te Ableitung allgemein aufstellen oder kann ich schon benutzen, dass es ja die Taylorreihe in diesem speziellen Punkt werden soll?

04.05.2013, 21:08

Dopap

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RE: Entwicklung einer Taylorreihe

Zitat:

Original von Ana2
... Nun soll man die Taylorreihe der Funktion g(x) = -3/(x^2 + x -2)^(-1) im Punkt x = 0 entwickeln.

$\begin{eqnarray*} g(x) =-\ \frac {3}{(x^2 + x -2)^{-1}} \end{eqnarray*}$ ?

so steht es geschrieben. Das wäre aber lediglich

$\begin{eqnarray*} g(x) = -3(x^2 + x -2) \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

----------------------------------------------------------
Die Ableitungen brauchst du schon allgemein.

04.05.2013, 22:28

ana2

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ohje dann hab ich mich vertippt..

ich meinte natürlich:

$\begin{eqnarray*} -3/(x^2 + x - 2)^-1 \end{eqnarray*}$

Sorry!

04.05.2013, 22:30

ana2

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ups sorry, ich kann meine beiträge nicht editieren...

ich meinte natürlich:

$\begin{eqnarray*} -3 * (x^2 + x - 2)^(-1) \end{eqnarray*}$

04.05.2013, 22:40

Dopap

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Zitat:

Original von ana2

ich meinte natürlich:

$\begin{eqnarray*} -3 * (x^2 + x - 2)^(-1) \end{eqnarray*}$

schön, also $\begin{eqnarray*} g(x)= -3 (x^2 + x - 2)^{-1} \end{eqnarray*}$

und warum sehe ich nicht ein paar Ableitungen ?

05.05.2013, 02:50

ana2

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Hallo,

vielen Dank für die schnelle Antwort.

Also das sind meine Ableitungen:

f'(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{3*(2x+1)}{(x^2+x-2)^2} \end{eqnarray*}$

f''(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{6}{(x^2+x-2)^2} -\frac{6*(2x+1)^2}{(x^2+x-2)^3} \end{eqnarray*}$

f'''(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{18*(2x+1)^3}{(x^2+x-2)^4} -\frac{36*(2x+1)}{(x^2+x-2)^3} \end{eqnarray*}$

f''''(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{6}{(x^2+x-2)^2} -\frac{6*(2x+1)^2}{(x^2+x-2)^3} \end{eqnarray*}$

f'''''(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{-72}{(x^2+x-2)^3} +\frac{216*(2x+1)^2}{(x^2+x-2)^4} - \frac{72*(2x+1)^4}{(x^2+x-2)^5}<br /> \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich jetzt weiter vor? Ich weiß, dass bei jeder der Ableitungen als Hochzahl im Nenner "k+1" stehen muss und vorne dran (-1)^(k+1), da es alterniert. Aber was ist mit den Zahlen und vor allem wie drücke ich aus, dass z.B. bei der 5. Ableitung drei Brüche da stehen, wogegen bei der ersten nur ein Bruch da steht?

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05.05.2013, 03:13

Dopap

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o.k.

da gebe ich dir recht! Sorry Ich seh' jetzt auch nicht wie man die k.-te Ableitung formalisiert, also zu einem geschlossenenen Ausdruck kommt verwirrt

verwirrt

das heisst $\begin{eqnarray*} g(x) \approx \sum_{k=0}^n\, \frac {g^{(k)}(0)}{k!} x^k \end{eqnarray*}$

scheitert an der k-ten Ableitung.

Mein Vorschlag: stell die Frage morgen nochmal samt den ersten Ableitungen als neuen Thread rein. Aber mit etwas veränderten Überschrift.

Ich hätte dir gerne noch weitergeholfen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.05.2013, 09:22

Mystic

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Wenn ich da kurz was einwerfen darf: Mit Ableiten hat die Aufgabe m.E. wenig bis nichts zu tun... Ich würde das einfach als unendliche gemetrische Reihe auffassen, gemäß

$\begin{eqnarray*} \frac 3{2-x(x+1)}=\frac 32 \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{x(x+1)}2\right)^k \end{eqnarray*}$

und das weiter umformen...

05.05.2013, 09:40

Huggy

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Wenn man aber über die Ableitungen gehen will, so geht das hier nach Partialbruchzerlegung ganz einfach.

05.05.2013, 10:21

Mystic

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Zitat:

Original von Huggy
Wenn man aber über die Ableitungen gehen will, so geht das hier nach Partialbruchzerlegung ganz einfach.

Zugegebnermaßen die noch bessere Idee... Freude

Freude

Ableiten braucht man aber auch hier nicht, außer die Assoziation "Taylorreihe=Bilden von Ableitungen" ist im Hirn unauflösbar verankert... Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.05.2013, 10:23

Che Netzer

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Wenn man die Partialbruchzerlegung gemacht hat, sollte man danach zweimal die geometrische Reihenformel anwenden, anstat abzuleiten.

05.05.2013, 11:27

Huggy

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Einverstanden, obwohl nach Partialbruchzerlegung auch die Ableitungen ganz simpel sind. Für den Lernenden dürfte es nützlich sein zu sehen, wie sich die geometrische Reihe auch aus der Definition der Taylorreihe ergibt.

05.05.2013, 13:34

ana2

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Wow, vielen Dank für die vielen tollen Antworten!!

Leider verstehe ich wenig bis gar nichts Big Laugh

Big Laugh

Ist das, was Mystic jetzt geschrieben hat, die k-te Ableitung? Nein, oder? Das ist nur einfach meine Funktion als Summe geschrieben?

Wie mache ich denn aus der geometrischen Reihe nun die Taylorreihe?

Also in meinem Kopf ist fest "verankert", dass man die Taylorreihe über die Ableitungen bilden muss, da ich ja die k-te Ableitung formulieren muss und diese dann in die Formel, die Dopap gestern Nacht noch geschrieben hat, einsetzen muss. Liege ich da falsch?

Liebe Grüße.

05.05.2013, 14:50

Huggy

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Taylorreihen sind Potenzreihen und für Potenzreihen gilt der Eindeutigkeitsatz, d. h. hat man zwei Potenzreihen um denselben Entwicklungspunkt, die in einer Umgebung des Entwicklungspunktes dieselbe Funktion darstellen, so sind diese Potenzreihen identisch.

Wenn du also, auf welchem Wege auch immer, eine Potenzreihe um den Punkt x = 0 für die gegebene Funktion findest, so stimmt diese Potenzreihe mit der Taylorreihe überein. Deshalb musst du nicht unbedingt über die Ableitungen gehen. Du kannst aber über die Ableitungen gehen.

Mach doch beides: zuerst Partialbruchentwicklung, dann

1) Taylorreihe über die Ableitungen
2) Taylorreihe über die geometrischen Reihen der beiden Partialbrüche

06.05.2013, 19:02

ana2

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danke für die tollen Antworten!

Ich verstehe leider immer noch Bahnhof, habe jetzt die Ableitungen durch die Partialbruchzerlegung probiert...

was mir immer zu schaffen macht, ist die Zahl vor dem Bruch.

Also meine Ableitungen sind die folgenden:

f(x) = $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2-x*(x+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{1} (x) = \frac{-3*(-2x-1)}{(2-x*(x+1)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{2} (x) = \frac{6}{(2-x*(x+1)^2} + \frac{6*(-2x-1)^2}{(2-x(x+1))^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{3} (x) = \frac{-6*(-(x+1)^2-2x(x+1))}{((2-x*(x+1)^2)^2)} - \frac{24*(-2x-1)}{(2-x(x+1))^3} -\frac{18*(-2x-1)^3}{(2-x*(x+1))^4} \end{eqnarray*}$

So, nun bin ich schon so weit, einer der Brüche sieht allgemein so aus:

$\begin{eqnarray*} f^{k} (x) = \frac{((-1)^k * (-2x-1)^k)}{(2-x*(x+1))x^{k+1} } \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie kriege ich die Zahl vor dem Bruch nicht hin...praktisch wird in dem Bruch immer die Zahl vorher mit "k" multipliziert
das heißt: es startet irgendwie mit 3 bei der "0-ten" Ableitung, dann *1 (da es die 1-te Ableitung ist) also steht wieder ne 3 da, dann *2 (da es die zweite Ableitung ist) also 6, und dann *3 (da es die dritte Ableitung ist) ergibt 18..
Ich hoff ihr versteht was ich meine..

Das mit der geometrischen Reihe hab ich jetzt einigermaßen gecheckt, aber wie forme ich das weiter um?

DANKE!

06.05.2013, 19:43

Huggy

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Ich sehe keine Partialbruchzerlegung bei dir. Die Partialbruchzerlegung besteht doch darin, f(x) als Summe von zwei sehr einfachen Brüchen zu schreiben. Diese Brüche kannst du getrennt ableiten. Diese Ableitungen sind ganz einfach. Danach kannst du die Ableitungen bei x = 0 auswerten.

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