Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe

04.05.2013, 20:23

Manuel99

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Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe

Hallo an alle!

Ich habe mal wieder ein unlösbares Matheproblem und zerbreche mir daran die Zähne. Genaugenommen geht es dieses Mal darum zu zeigen das eine Funktionenreihe über einem Intervall konvergiert:

Die Aufgabenstellung ist folgende:

Man zeige, dass die Funktionenreihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\sqrt{1-x^{n}}-1) \end{eqnarray*}$ über dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\frac{1}{2}] \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergiert.

So nun habe ich lange hin und her überlegt. Anfangs dachte ich, dass das Majorantenkriterium von Weierstrass nehmen könnte, aber ehrlich gesagt finde ich die vorgegebene Funktionenreihe so fies, dass ich beim besten Willen keine Funktionenfolge finde die konvergiert und größergleich zur Reihe ist.

Ich habe bereits allerlei Werte ausgerechnet und habe so festgestellt dass innerhalb des vorgegebenen Intervalls die Ergebnisse für steigende n von unten gegen Null gehen. Ich glaube daher auch dass die Funktionenreihe konvergiert, nur weiss ich nicht wie ich das zeigen kann.

Ich habe versucht eine andere einfachere ebenfalls konvergierende Reihe abzuschätzen, aber auch das gelang mir nicht. Ich habe noch nicht einmal ähnliche Reihen gefunden an denen ich ungefähr ablesen könnte, was eine gute Lösungsstrategie wäre :/

Hat jemand ein paar Tipps?

Danke im vorraus
Manuel

edit: latex-code verbessert

04.05.2013, 20:51

Che Netzer

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RE: Gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenreihe

Zitat:

Original von Manuel99
Anfangs dachte ich, dass das Majorantenkriterium von Weierstrass nehmen könnte, aber ehrlich gesagt finde ich die vorgegebene Funktionenreihe so fies, dass ich beim besten Willen keine Funktionenfolge finde die konvergiert und größergleich zur Reihe ist.

Das ist schon ein guter Ansatz.
Allerdings sollst du ja keine Funktionenfolge, sondern eine Zahlenreihe finden.
Benutze dazu $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq\frac12 \end{eqnarray*}$ um den Betrag des Summanden geeignet abzuschätzen.

04.05.2013, 21:02

Manuel99

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eventuell so?

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{1-x^{n}}-1) \ \leq \ (\sqrt{1-0,5^{n}}-1) \ \leq \ \sqrt{1-0,5^{n}} \end{eqnarray*}$

Aber so richtig weiss ich mit dieser bösen Wurzel nicht umzugehen...

04.05.2013, 21:04

Che Netzer

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Nein, so stimmt das gar nicht.
Fang mit
$\begin{eqnarray*} \lvert\sqrt{1-x^n}-1\rvert=1-\sqrt{1-x^n} \end{eqnarray*}$
an.
Dann mache eine Abschätzung und begründe sie.
Um zu zeigen, dass die entstehende Zahlenreihe konvergiert, kannst du noch eine weitere Abschätzung machen.

04.05.2013, 21:10

Manuel99

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na offensichtlich gilt:

$\begin{eqnarray*} \lvert\sqrt{1-x^n}-1\rvert=1-\sqrt{1-x^n} \leq 1 \end{eqnarray*}$ Weil 1 ist immer größer als 1 minus irgendetwas positives... aber hier fängt es ja schon an, die Summen, die sich bei dieser Reihe ergeben sind doch alle negativ, oder nicht?

04.05.2013, 21:20

Che Netzer

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Die Abschätzung ist natürlich etwas ungeeignet Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schätze $\begin{eqnarray*} 1-\sqrt{1-x^n}\leq a_n \end{eqnarray*}$ so ab, dass $\begin{eqnarray*} \sum a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert.

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04.05.2013, 22:24

Manuel99

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Erst einmal danke für die Geduld die du mit mir hast.. ich stelle mich beim Thema Abschätzen / Grenzwerte / Reihe etc. immer besonders plüschig an :/ Ich rekapituliere mal in meinen eigenen Worten, um so vielleicht einen besseren Einblick in die Erkenntnisse in meinem mathematisches Spatzenhirn zu geben, oki?

mit größer werdenden n, wird der Wert, der in der Wurzel von 1 abgezogen wird, ja immer geringer. Das bedeutet aber auch, dass die Zahl von der da die Wurzel gezogen wird, immer näher an 1 (von unten) heranreicht, aber 1 nie erreicht.

Das bedeutet dann in der Konsequenz, dass der Wert der beim Wurzelziehen herauskommt, mit zunehmenden n, auch immer näher an 1 heranreicht, aber ebenso nie 1 erreicht.

Das bedeutet dann wiederum, dass der Wert der dann nach der Subtraktion übrig bleibt, immer kleiner wird (für zunehmende n), also gegen 0 geht.

Also müsste doch für die Abschätzung eine Folge her, die auch gegen 0 geht, aber immer größer ist als die bisherige.. "größer" dürfte dann auch heissen, weniger kompliziert oder?

Und wenn ich es richtig verstanden habe, müsste ich auch eine Folge nehmen, die kein x mehr enthält.. weil uns das nur bei der Abschätzung stört, also eine Folge, die auf jeden fall immer größer ist als unsere bisherige Folge, egal welches x von 0 bis 0,5 ich nehme?

Vielleicht so?

$\begin{eqnarray*} 1-\sqrt{1-x^n}\leq 1-\sqrt{1-\frac{1}{2^n}} \end{eqnarray*}$

Nur verstehe ich nicht warum wir bei unseren Abschätzungen plötzlich von 1 - irgendetwas ausgehen und nicht mehr von irgendetwas - 1 ?

04.05.2013, 22:32

Che Netzer

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Zitat:

Original von Manuel99
$\begin{eqnarray*} 1-\sqrt{1-x^n}\leq 1-\sqrt{1-\frac{1}{2^n}} \end{eqnarray*}$

Das ist gut, das fasse ich als Essenz deines Beitrages zusammen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Nur verstehe ich nicht warum wir bei unseren Abschätzungen plötzlich von 1 - irgendetwas ausgehen und nicht mehr von irgendetwas - 1 ?

Weil wir den Betrag gebildet haben:
$\begin{eqnarray*} \lvert\sqrt{1-x^n}-1\rvert=1-\sqrt{1-x^n}\,. \end{eqnarray*}$
Wir wollen ja die Absolutbeträge der Reihe abschätzen, um eine Majorante zu finden.

Naja, jetzt kannst du noch $\begin{eqnarray*} y\leq\sqrt y \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y\in(0,1) \end{eqnarray*}$ benutzen, um die Abschätzung fortzuführen und zu zeigen, dass die Majorante
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\left(1-\sqrt{1-\frac1{2^n}}\right) \end{eqnarray*}$
auch wirklich konvergiert (woraus dann die gleichmäßige Konvergenz folgen würde).

04.05.2013, 22:50

Manuel99

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So...

$\begin{eqnarray*} \left(1-\sqrt{1-\frac{1}{2^n}}\right) \leq \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

und weil diese Zahlenfolge, den Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0 \end{eqnarray*}$

... hat, konvergiert die Funktionenreihe von der ich ganz zum anfang ausgegangen bin, gleichmäßig gegen 0 ?

04.05.2013, 22:52

Che Netzer

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Zitat:

Original von Manuel99
und weil diese Zahlenfolge, den Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 0 \end{eqnarray*}$

Das sagt jetzt gar nichts aus.
Du brauchst, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac1{2^n} \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Dann hast du nämlich eine konvergente Zahlenreihe gefunden, die die Funktionenreihe majorisiert (das wolltest du in deinem Ursprungsbeitrag erreichen).

04.05.2013, 23:34

Manuel99

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Okay, nun konvergiert die Reihe zwar, aber offensichtlich $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac1{2^n}=1 \end{eqnarray*}$

... und 1 ist ja nun nicht gerade 0... ist oder was folgt daraus?

04.05.2013, 23:45

Che Netzer

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Wieso sollte die Reihe auch gegen Null konvergieren? verwirrt

verwirrt

05.05.2013, 19:47

Manuel99

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Okay ich fasse dann mal zusammen, um sicher zu gehen.. ob ich das verstanden habe oki?

Die Funktionenreihe: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} (\sqrt{1-x^{n}}-1) \end{eqnarray*}$ konvergiert und ich zeige das mittels folgender Abschätzungen:

$\begin{eqnarray*} \lvert\sqrt{1-x^n}-1\rvert=1-\sqrt{1-x^n} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} 1-\sqrt{1-x^n}\leq 1-\sqrt{1-\frac{1}{2^n}} \end{eqnarray*}$

und weil das hier gilt:

$\begin{eqnarray*} y \leq \sqrt{y} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y\in(0,1) \end{eqnarray*}$

gilt auch das:

$\begin{eqnarray*} \left(1-\sqrt{1-\frac{1}{2^n}}\right) \leq \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

und diese Zahlenreihe, die wir auf diesem Weg abgeschätzt haben, konvergiert gegen 1..

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac1{2^n}=1 \end{eqnarray*}$

und weil sie das tut, ist sie eine Majorante für die Funktionenreihe.. womit gezeigt wäre, das diese gleichmäßig konvergiert, oki?

(Und noch eine Frage): wenn die beiden reihen gegen einen anderen Wert konvergieren..wie hier etwa gegen 0 und gegen 1... dann ist das egal?

05.05.2013, 20:02

Che Netzer

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Zitat:

Original von Manuel99
wenn die beiden reihen gegen einen anderen Wert konvergieren..wie hier etwa gegen 0 und gegen 1... dann ist das egal?

Welche Reihe konvergiert hier denn gegen Null? verwirrt

verwirrt

06.05.2013, 08:41

Manuel99

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Das war nur eine Vermutung.. hab aber auch eingesehen, dass die wohl nicht stimmt...

aber der Rest der Überlegungen ist richtig, oder? Achso ja.. und gegen welchen Wert konvergiert die Funktionenreihe denn nun... oder kann man folgern, dass wenn unsere Majorante (also die Zahlenreihe) gegen 1 konvergiert, dann tuts die Funktionenreihe auch?

06.05.2013, 08:43

Che Netzer

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Über den Grenzwert der Funktionenreihe kann man nichts aussagen.
Bzw. nur, dass sich die Grenzfunktion in $\begin{eqnarray*} [-1,0] \end{eqnarray*}$ bewegt.

06.05.2013, 09:19

Manuel99

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top.. danke. Jetzt habe ich glaube ich eine ziemlich gute Vorstellung von der Problematik.

Wie schaffst du es eigentlich immer innerhalb weniger Minuten zu antworten, egal zu welcher Tages und Nachtzeit ich hier was schreibe? verwirrt

verwirrt

06.05.2013, 09:20

Che Netzer

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Tja, ich werde bei Antworten immer gleich per E-Mail benachrichtigt smile

smile

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