Darstellungsmatrix

05.05.2013, 00:36	Mai	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellungsmatrix Meine Frage: Hallo, mich verwirrt gerade die Sache mit der Darstellungsmatrix ein wenig. Dazu habe ich folgende Aufgabe: Im $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ seien bezüglich der Standardbasis die folgenden Vektoren gegeben: $\begin{eqnarray} v_1 = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}, v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Weiterhin sein $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ der Endomorphismus des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ , der Vektoren in $\begin{eqnarray} U := <v_1,v_2> \end{eqnarray}$ um 45° dreht und Vektoren, die senkrecht auf U stehen, an U spiegelt. Das ist äquivalent zu: $\begin{eqnarray} \phi(v_1) = \sqrt{2} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \phi(v_2) = \frac{\sqrt{2} }{3} \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \phi(v_3) = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Geben Sie die Darstellungsmatrix von $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ bezüglich einer von Ihnen gewählten Basis B des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ an. Meine Ideen: Durch Nachrechnen der linearen Unabhängigkeit, habe ich erhalten das $\begin{eqnarray} v_1, v_2, v_3 \end{eqnarray}$ eine Basis bilden. Da hiervon die Bildvektoren unter $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ schon angeben sind, wollte ich nun die Darstellungsmatrix bestimmen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 4 & 0 & 1\| & 2\sqrt{2} & \frac{-2\sqrt{2} }{3} & -1 \\ -1 & 1 & 2\| & \sqrt{2} & \frac{2\sqrt{2} }{3} & -2 \\ -1 & -1 & 2\| & -2\sqrt{2} & \frac{-\sqrt{2} }{3} & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die hab ich nun umgeformt bis $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\| & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{-\sqrt{2} }{6} & 0 \\ 0 & 1 & 0\| & \frac{3\sqrt{2} }{2} & \frac{\sqrt{2} }{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1\| & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Um zu überprüfen, ob ich richtig gerechnet habe, wollte ich einen der Vektoren mit der Darstellungsmatrix multiplizieren (ich hab $\begin{eqnarray} v_3 \end{eqnarray}$ genommen), aber leider kam nicht $\begin{eqnarray} \phi(v_3) \end{eqnarray}$ raus. Als ich dann das gleiche Vorgehen mal mit einem anderen Beispiel aus einem Buch probiert habe, kam wieder ein ganz anderer Vektor raus. Da hab ich gemerkt, dass ich nicht weiß, wie ich die Matrix eigentlich benutzen muss. Deshalb frage ich mich: Wie bzw. mit welchem Vektor muss man die Darstellungsmatrix multiplizieren und was muss dann rauskommen? Oder habe ich oben doch einen Fehler gemacht? Für ein bisschen Hilfe wäre ich sehr dankbar.

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