Substitution, Partielle Integration

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05.05.2013, 13:49	Maya55	Auf diesen Beitrag antworten »
Substitution, Partielle Integration Meine Frage: Hallo zusammen, ich komme bei folgender Aufagbe nicht weiter: Ich habe gegeben, dass $\begin{eqnarray} \int_a^b \! [f(x)-h(x)]g(x) \, dx=0 \end{eqnarray}$ ist und muss zeigen dass f(x)=h(x). f,h,g sind stetige Funktionen. Meine Ideen:* Ich weiß nicht sorecht, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Ich habe das einmal mit partieller Integration versucht, dies führte allerdings nicht zum erfolg. Hat einer einen Ansatz wie am an dieser Aufgabe rangehen kann?
05.05.2013, 13:56	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls g = 0 gilt, können doch f und g beliebig sein und die Gleichung ist erfüllt ?!
05.05.2013, 14:34	Maya55	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt. f und h kann man dann frei wählen. Was hilft mir diese Feststellung das f(x)=h(x) zu zeigen??
05.05.2013, 15:20	Maya55	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass das gilt hätte ich jetzt für g=0 gezeigt. Doch was mache ich, wenn $\begin{eqnarray} g \neq 0 \end{eqnarray}$
05.05.2013, 18:24	Hermoine	Auf diesen Beitrag antworten »
du könntest doch die klammer ausmultiplizieren. dann müsstest du auch weiterkommen, wenn ich mich nicht irre.
05.05.2013, 19:07	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann es sein, dass diese Gleichung vielleicht für alle stetigen Funktion $\begin{eqnarray} g\colon[a,b]\to\mathbb R \end{eqnarray}$ gelten soll?
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05.05.2013, 19:49	Maya55	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn ich das ausmultipliziere dann komme ich auf folgendes: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! [f(x)-h(x)]g(x) \, dx=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_a^b \! f(x)g(x)-h(x)g(x) \, dx=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_a^b \! f(x)g(x)- \int_a^b \! h(x)g(x) \, dx=0 \end{eqnarray*}$ @ Che Netzer Ja.
05.05.2013, 21:17	Kenji	Auf diesen Beitrag antworten »
Im ersten Integral ist ein "dx" abhanden gekommen Eigentlich dürftest du gar nicht partiell integrieren wenn die Funktionen nur stetig sind, denn dann müssen sie ja nicht diffbar sein. Es steht ja nicht sie sind auch diffbar, oder?
05.05.2013, 21:21	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Setze dir g := f-h. Nächstes mal bitte gleich die Aufgabenstellung richtig wiedergeben. Ohne die Information, die Che dir entlockt hat, war das zu zeigende falsch.
05.05.2013, 21:32	Maya55	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich g:=f-h setze erhalte ich folgendes: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! [f(x)-h(x)]g(x) \, dx=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_a^b \! f(x)-h(x)](f(x)-h(x)) \, dx=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_a^b \! (f(x)(f(x)-h(x)))-(h(x)(f(x)-h(x))) \, dx=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_a^b \! (f(x)^2-2(f(x)h(x))-h(x)^2)) \, dx=0 \end{eqnarray}$ müsste man dies jetzt so umstellen, dass auf der einen seite f(x)=h(x) steht?
05.05.2013, 21:47	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, Du hast doch dann das Integral über (f-h)^2. Eine stetige nichtnegative Funktion. Dennoch ist das Integral gleich 0. kannst du daraus nicht irgendwas über (f-h)^2 schließen ?
05.05.2013, 22:19	Maya55	Auf diesen Beitrag antworten »
Da dies eine stetige nichtnegative Funktion ist, müsste (f-g)^2 überall Null sein.
05.05.2013, 22:23	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Das wirst du in deinem Beweis aber ein wenig mehr begründen müssen. . Kommst du damit weiter ?
05.05.2013, 22:45	Maya55	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuchen wir es mal : Ich sage mal d(x):=(f-g)^2 Da ich weiß dass d(x) stetig und nicht negativ auf [a,b] ist folgt, dass die Stammfunktion D(x) eine monoton steigende Funktion ist. Sei nun im Intervall [a,b] b>a, dann ist D(b)>=D(a). Dann müsste D(b) = D(a) gelten, auf ganz [a,b]. Daraus kann man schlussfolgern, dass D(x) eine konstante Funktion ist. Die Ableitung dieser Funktion wäre 0, weil die Steigung einer Konstante überall gleich ist, diese Ableitung ist aber unteranderem die funktion d(x) woraus folgt, dass f(x)=h(x) gleich 0 auf ganz [a,b] ist. kann man das so machen?

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