Verhalten von x gegen unendlich bei gebrochen rationalen Funktionen

05.05.2013, 15:32	Shiroxz	Auf diesen Beitrag antworten »
Verhalten von x gegen unendlich bei gebrochen rationalen Funktionen Hallo Community, ich übe für meine Matheklausur und komme einfach nicht weiter. ich habe hier eine Funktion in meinem Heft stehen, die lautet: $\begin{eqnarray} f(x)=x^3-2x / x^2+1 \end{eqnarray}$ Da der Grad des Zählers größer ist als der des Nenners haben wir durch $\begin{eqnarray} x^2 \end{eqnarray}$ geteilt: $\begin{eqnarray} f(x)=x-2/x / 1+1/x^2 \end{eqnarray}$ Als Ergebnis hatten wir raus, dass lim f(x) bei x -> - unendlich = - unendlich sein muss und lim f(x) bei x -> + unendlich = + unendlich ist. Meine Frage ist: Wie kommt man darauf?
05.05.2013, 16:58	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verhalten von x gegen unendlich bei gebrochen rationalen Funktionen $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x-\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x^2}} \end{eqnarray}$ Welchen Werten nähern sich denn jeweils der Zähler und der Nenner an , wenn x "sehr groß" wird, z.B. 10000 ?
05.05.2013, 18:00	Shiroxz	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zahlen werden groß, also gegen + unendlich?
05.05.2013, 22:41	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verhalten von x gegen unendlich bei gebrochen rationalen Funktionen Welche Zahlen werden groß? Dass x groß werden soll, wird ja vorausgesetzt. Fangen wir beim Nenner $\begin{eqnarray} N(x) =1+\frac{1}{x^2} \end{eqnarray}$ an: $\begin{eqnarray} N(10000) = 1+\frac{1}{10000^2} = 1,00000001 \end{eqnarray}$ , also praktisch 1 $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^2} \end{eqnarray}$ wird mit zunehmendem x immer kleiner, so dass der Nenner der 1 immer näher kommt Zähler $\begin{eqnarray} Z(x)=x-\frac{2}{x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Z(10000) = 10000-\frac{2}{10000}=9999,9998 \end{eqnarray}$ , also praktisch 10000 $\begin{eqnarray} \frac{2}{x} \end{eqnarray}$ wird mit zunehmendem x immer kleiner, so dass der Zähler dem für x eingesetzten Wert immer näher kommt Somit ergibt sich $\begin{eqnarray} f(10000)=\frac{9999,9998}{1,00000001}\approx 10000 \end{eqnarray}$ Der Funktionswert nähert sich dem für x eingesetzen Wert für hohe Werte immer mehr an, wird also auch beliebig hoch, wenn x entsprechend hoch ist.

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