Abstand von Geraden

05.05.2013, 15:39	Timbonane	Auf diesen Beitrag antworten »
Abstand von Geraden Hallo! Und zwar geht es um folgendes: Ich habe zwei geraden g, h gegeben mit $\begin{eqnarray} g=\lbrace \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{pmatrix}+t \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} : t \in \mathbb R \rbrace \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h=\lbrace \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}+s* \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} : s \in \mathbb R \rbrace \end{eqnarray}$ . Wir sollen nun den Abstand von g und h bestimmen. Also $\begin{eqnarray} inf\lbrace\|\|x-y\|\|_2 : x \in g, y \in h \rbrace \end{eqnarray*}$ Ich kenne zwar noch aus der Schule die Formel, wie man solchen Abstand berechnet, aber wir sollen es mit mitteln der Linearen Algebra lösen(orthogonale Projektion?) Leider habe ich so gar keinen Ansatz, wie ich das Lösen könnte... über Hilfe wäre ich sehr dankbar! lg
05.05.2013, 23:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Dazu bietet sich die Methode der Hilfsebene an oder - besonders elegant und effizient - auch jene des geschlossenen Vektorzuges. mY+
06.05.2013, 00:00	Timbonane	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab mir Die Methode des geschlossenen Vektorzugs jetzt mal angesehen, und das erscheint mir eigentlich sehr einleuchtend. Ich suche mir einfach eine geschlossene Verbindung, und diese muss dann den Nullvektor ergeben, oder? d.h. wenn ich mir dass in dem Fall dann ansehe, müsste das doch so aussehen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 2 \\2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\0 \\ 1 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 1 \\2 \\ 2\end{pmatrix}+d\frac 1 {\sqrt{17}}\begin{pmatrix} 2 \\-3 \\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wobei der Vektor, der hinterm d steht, der normierte Normalvektor auf g und h ist. Jetzt müsste ich dann nur noch das Gleichungssystem lösen, und d würde mir dann meinen gewünschten Abstand liefern?
06.05.2013, 00:11	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
So ist es! Der Ansatz und der Normalvektor stimmen mY+

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