Wurzelgleichung I

05.05.2013, 17:30

enmi

Wurzelgleichung I

hallo,
eigentlich sollte folgende gleichung kein problem sein. aber irgendwie scheine ich immer wieder den gleichen fehler zu machen.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+3}-\sqrt{x} =\sqrt{3x+5} \end{eqnarray*}$

lösungsansatz:
ich quadriere um die wurzel wegzubekommen

$\begin{eqnarray*} (x+3)-2\sqrt{x+3}\sqrt{x}+x =3x+5 \end{eqnarray*}$

nach ein paar umformungen erhalte ich:

3x² + 8x - 4 = 0

und hier stecke ich fest. die lösung kann nicht stimmen. habe die gleichung gelöst, bei der probe aber einen fehler erhalten. der fehler muss sich im oberen bereich eingeschlichen haben. ich weiß aber leider nicht wo.

danke für eure hilfe
lg
enmi

05.05.2013, 17:38

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: einfache gleichung
Kannst du weitere Umformungsschritte aufschreiben?

smile

edit: Bist du sicher, dass die Gleichung so stimmt?
Es gibt keine Lösung für x:

05.05.2013, 18:42

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

da Sulo grad offline ist helfe ich mal weiter.

deine Gleichung ist richtig smile

Nur ist das Quadrieren ( hier gleich 2 mal ! ) keine Äuivalenzumformung und es entstehen Obermengen der Lösungsmenge.
Hier sind Proben am Original = Wurzelgleichung unerlässlich.

edit: nee: Sulo ist wieder online !

05.05.2013, 20:16

enmi

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
danke für eure antworten.
@dopap: wenn quadrieren keine äquivalenzumformung ist, wie kann ich die gleichung dann lösen?
@sulo: ich kann die quadratische gleichung zwar lösen, aber meine lösungen stimmen nicht, da die probe am original/wurzelgleichung nicht stimmt. unglücklich

was genau "obermengen der lösungsmenge" sind ist mir nicht bekannt.

gibt es eine möglichkeit die gleichung zu lösen (auch wenn ich keine lösung erhalte)... ?!?

danke
lg
enmi

05.05.2013, 20:23

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte schon geschrieben: Es wäre gut, wenn du weitere Zwischenschritte aufschreiben würdest. Du brauchst nicht jeden zu notieren, aber eine oder zwei weitere Gleichungen würden schon helfen.

Man kommt nicht auf die von dir notierte quadratische Gleichung. Irgendwo muss unterwegs ein Fehler aufgetreten sein.
Die erste Umformung (also nach dem ersten Quadrieren) stimmt noch. Freude

Das Quadrieren ist insofern keine Äquivalenzumformung, als du mehrere Lösungen erhältst, wo du zuerst vielleicht nur eine hattest.
Daher muss durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung überprüft werden, welche der rechnerisch ermittelten Lösungen auch Lösung der Gleichung ist.

smile

24.05.2013, 21:30

enmi

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
sorry, dass es so lange gedauert hat, bin aber immer noch mit folgender gleichung beschäftigt:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+3}-\sqrt{x} =\sqrt{3x+5} \end{eqnarray*}$

lösungsansatz:

1. quadrieren:
$\begin{eqnarray*} x+3-2\sqrt{x+3}\cdot \sqrt{x} +x=3x+5 \end{eqnarray*}$

2. wurzel freistellen:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+3)\cdot x} =\frac{x+2}{-2} \end{eqnarray*}$
und nochmals quadrieren:
$\begin{eqnarray*} x²+3x=\left(\frac{x+2}{-2} \right) \end{eqnarray*}$

bruch weg ergibt:

4x² + 12x = x² + 4x + 4

und so komme ich auf meine quadratische gleichung mit:

3x² + 8x - 4 = 0

lösungen für die quadratische gleichung sind:

x1 = 0,430500874...
x2 = -3,097167541...

wobei x2 ausscheidet da x größer gleich -3 sein muss.

bei der probe erhalte ich

1,196035482... = 2,50828679...

da kann ja was nicht stimmen?!? aber wo liegt mein fehler?

danke für eure hilfe

24.05.2013, 21:59

Bürgi

Auf diesen Beitrag antworten »

Siehe hier: wurzelgleichung

24.05.2013, 22:44

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit ich das sehe, hast du alles richtig gemacht.

Das Problem ist, dass Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist.
Du musst also deine Lösung(en) immer daraufhin überprüfen, ob sie auch Lösung der ursprünglichen Gleichung ist/sind.

Im vorliegenden Fall ist das nicht so. Es gibt keine Lösung.
Die kann man sich durch das Anschauen der Aufgabenstellung auch ohne Rechnung überlegen.

smile

24.05.2013, 23:03

enmi

Auf diesen Beitrag antworten »

aber die lösung muss doch nur >=3 sein oder nicht?
und ich habe doch eine lösung mit x1 = 0,430500874...

und wenn quadrieren keine äquivalenzumformung ist, wie müsste eine solche gleichung (wenn sie denn lösbar wäre) gelöst werden.

Zitat:

Soweit ich das sehe, hast du alles richtig gemacht.

wenn ich wirklich alles richtig gemacht habe, dann muss doch auch das ergebnis stimmen, oder nicht?

stehe hier irgendwie vor einer wand und komme einfach nicht weiter unglücklich

24.05.2013, 23:19

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Du bekommst Lösungen für die Gleichung $\begin{eqnarray*} 3x² + 8x - 4 = 0 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung hat aber nur noch entfernt mit deiner Ausgangsgleichung zu tun: $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+3}-\sqrt{x} =\sqrt{3x+5} \end{eqnarray*}$

Abgesehen davon muss die Lösung $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ sein, da $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ der kleinste Wurzelterm ist. Augenzwinkern

25.05.2013, 02:48

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

hier mal linke Seite (rot) und rechte Seite (grün ) der Gleichung.

Offensichtlich gibt es keinen Schnittpunkt.

Wenn du dich rechnerisch einer Lösungsmenge nähern willst, dann muss zumindest mal die Definitionsmenge bestimmt werde. Es muss gelten:

$\begin{eqnarray*} D=\{x\, | \,x \geq 0 \quad \text{und} \quad x+3 \geq 0 \quad \text{und} \quad 3x+5 \geq 0 \end{eqnarray*}$

weil jeder Term unter der Wurzel positiv sein muss.

was sich aber zu $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ zusammenfassen lässt. Jetzt ist klar, dass $\begin{eqnarray*} x_1=-3.097 \end{eqnarray*}$ keine Lösung sein kann.

Die Lösung $\begin{eqnarray*} x_2=0.4305 \end{eqnarray*}$ ( der quadr. Gleichung ) könnte eine Lösung sein , die Probe ergibt aber ein negatives Ergebnis.

somit hat die Wurzelgleichung keine Lösung.

Warum Quadrieren keine Äquivalenzumformung ist, dazu ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} -3=3 ~ \bigg |^2\quad \text{ ist falsch } \quad (-3)^2=(3)^3 [9=9]\quad \text{ist wahr.} \end{eqnarray*}$

oder: $\begin{eqnarray*} \sqrt x=-5~\bigg |^2 ~ \to ~ x=25 \end{eqnarray*}$ was aber keine Lösung ist.

25.05.2013, 07:56

enmi

Auf diesen Beitrag antworten »

@dopap: danke für die ausführliche erklärung.

heißt das dann auch:

diese art von gleichung muss zwar mit quadrieren gelöst werden, aber die lösung muss auf jeden fall noch einmal (mit hilfe der probe) überprüft werden?

danke

25.05.2013, 10:43

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

kein Problem, hauptsache es bleibt was hängen smile

25.05.2013, 11:20

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von enmi
diese art von gleichung muss zwar mit quadrieren gelöst werden,

Mit dem "muss" ist das so eine Sache. Mit der nötigen Erfahrung bzw. Blick kannst du auch ohne große Rechnung so argumentieren:

Definitionsbereich der Terme dieser Gleichung ist $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ , für diese $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kann man abschätzen

$\begin{eqnarray*} 3x+5 \geq x+5 > x+3 \end{eqnarray*}$ ,

womit dann

$\begin{eqnarray*} \sqrt{3x+5} > \sqrt{x+3} \geq \sqrt{x+3}-\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

gilt, d.h., es kann für kein $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ die Gleichung $\begin{eqnarray*} \sqrt{3x+5} = \sqrt{x+3}-\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ gelten.

Richtig ist allerdings, dass ein solches Vorgehen für Schüler schwer formalisierbar ist und daher von den wenigsten praktiziert wird. Wenn man nicht genau weiß, was man tut, bleibt man besser beim Quadrierungsweg - und der dann zwingend mit Probe. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Wurzelgleichung I

Verwandte Themen