Anzahl der Möglichkeiten für Jordan-Normalform

05.05.2013, 19:36

Aurora Borealis

Anzahl der Möglichkeiten für Jordan-Normalform

Meine Frage:
Aufgabe:
Die Matrix $\begin{eqnarray*} A\in C^{7x7} \end{eqnarray*}$ habe das charakteristische Polynom
$\begin{eqnarray*} (x^{2}+1)^{2} (x-2) (x^{2}-1)^{2} \end{eqnarray*}$
Welche Möglichkeiten für die Jordan-Normalform von A gibt es?

Meine Ideen:
Ich weis leider nicht, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.
Also habe ich mir erstmal die Eigenwerte herausgeschrieben.
EW sind:
$\begin{eqnarray*} \lambda_{1}=i (alg.Vielf. 2) \lambda_{2}=-i (alg.Vielf. 2) \lambda_{3}=1 \lambda_{4}=-1 \lambda_{5}=2 \end{eqnarray*}$

Aufgrund der alge.Vielf. von i und -i, glaube ich, dass es 2 Jordan-Kästchen in der Größe 2x2 gibt und 3 in der Größe 1.
Daraus schlussfolgere ich, dass es 3 Möglichkeiten gibt.
1.Möglichkeit:
1+1+1+1+1+1+1
2. Möglichkeit:
2+2+1+1+1
3.Möglichkeit:
2+1+1+1+1+1

Stimmt das?? Wenn nicht, würde ich mich freuen, wenn ihr mir zeigt, wie ich an diese Aufgabe heran gehen soll. :-)

05.05.2013, 20:33

Che Netzer

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RE: Anzahl der Möglichkeiten für Jordan-Normalform

Zitat:

Original von Aurora Borealis
Die Matrix $\begin{eqnarray*} A\in C^{7x7} \end{eqnarray*}$ habe das charakteristische Polynom
$\begin{eqnarray*} (x^{2}+1)^{2} (x-2) (x^{2}-1)^{2} \end{eqnarray*}$

Eine $\begin{eqnarray*} 7\times7 \end{eqnarray*}$ -Matrix mit einem charakteristischen Polynom neunter Ordnung?
Wenn das letzte Quadrat dabei ein Tippfehler ist, stimmt dein Ergebnis aber noch nicht ganz.
Deine dritte Möglichkeit tritt in zwei verschiedenen Fällen ein.

05.05.2013, 22:01

Aurora Borealis

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RE: Anzahl der Möglichkeiten für Jordan-Normalform
Oh! geschockt

Danke für den Hinweis, das Letzte Quadrat ist ein Tippfehler.
Also das ist das char. Polynom

$\begin{eqnarray*} (x^{2}+1)^{2}(x-2)(x^{2}-1) \end{eqnarray*}$

Was meinst du mit den zwei Verschiedenen Fällen von Möglichkeit 3?

05.05.2013, 22:08

Che Netzer

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RE: Anzahl der Möglichkeiten für Jordan-Normalform
Zwei der Nullstellen ist doppelt und für beide besteht die Möglichkeit, dass deren geometrische Vielfachheit Eins ist.

05.05.2013, 22:52

Aurora Borealis

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RE: Anzahl der Möglichkeiten für Jordan-Normalform
also es kann auch 1+2+1+1+1+1 sein,
was bedeutet es gibt 4 Möglichketen der Jordan-Normalform

05.05.2013, 22:55

Che Netzer

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RE: Anzahl der Möglichkeiten für Jordan-Normalform
Ja, es sind vier.
(natürlich bis auf Vertauschungen der Eigenwerte)