Konvergenz

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05.05.2013, 19:45	kim...	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz hey, kann mir jemand bitte hiermit helfen. wäre hier das wurzelkriterium angebracht? (Untersuchen sie folgende reihen auf konvergenz) $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{ k^3}{6^{\frac{k}{2} } } \end{eqnarray}$
05.05.2013, 20:04	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Ja, das Wurzelkriterium kannst du hier anwenden, wenn $\begin{eqnarray} \sqrt[k]k\to1 \end{eqnarray}$ bekannt ist.
05.05.2013, 20:06	kimi...	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist in der aufgabe nicht gegeben, also quotientenkriterium?
05.05.2013, 20:11	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Und ihr habt das auch vorher nie gezeigt? Aber ja, mit dem Quotientenkriterium kommst du hier auch voran.
05.05.2013, 20:20	kimi..	Auf diesen Beitrag antworten »
stimmt das hier, habe das wurzelkrit. angewandt $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(k+1)^36^{\frac{k}{2} } }{6^{\frac{k+1}{2} }k^3 } \end{eqnarray}$
05.05.2013, 20:22	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll da stimmen? Ich sehe keine Aussage. Was das Summenzeichen dort zu suchen hat, ist auch unklar.
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05.05.2013, 20:24	kimi...	Auf diesen Beitrag antworten »
tut mir leid. also das summenzeichen muss weg. ich wollte sagen, ob das soweit stimmt und dass ich leider nicht weiß wie es weitergeht
05.05.2013, 20:25	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt: Dort steht noch keine Aussage, die stimmen oder nicht stimmen könnte. Aber ja, diesen Term solltest du untersuchen. Bilde dafür den Grenzwert $\begin{eqnarray} k\to\infty \end{eqnarray}$ . Und sieh dir am besten nochmal die Aussage des Quotientenkriteriums an.
05.05.2013, 20:30	kimi...	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty } \frac{(k+1)^36^{\frac{k}{2} } }{6^{\frac{k+1}{2} }k^3 } \end{eqnarray}$ ich weiß echt nicht wie ich den term vereinfachen soll
05.05.2013, 20:33	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du denn die Potenzgesetze?
05.05.2013, 20:38	kimi...	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty } \frac{(k+1)^36^{\frac{k}{2} } }{6^{\frac{k}{2} }6k^3 } \end{eqnarray*}$ stimmt das so die 6^(k/2) kann man dann kürzen
05.05.2013, 20:40	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du leider falsch umgeformt. $\begin{eqnarray} 6^{\frac{k+1}2}=6^{\frac k2+\frac12}=\dotso \end{eqnarray}$
05.05.2013, 20:47	kimi...	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{k \to \infty } \frac{(k+1)^36^{\frac{k}{2} } }{6^{\frac{k}{2} }6^{\frac{1}{2} } k^3 } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{k\to \infty} \frac{(k+1)^3}{6^{\frac{1}{2} }k^3 } \end{eqnarray*}$
05.05.2013, 20:48	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Gleichheitszeichen dazwischen wäre natürlich noch schön. Jetzt kannst du z.B. $\begin{eqnarray} \frac1{\sqrt6} \end{eqnarray}$ aus dem Grenzwert ziehen. Dann fasse die Potenzen zusammen (nutze wieder ein Potenzgesetz).
05.05.2013, 21:00	kimi...	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{k\to \infty}=\frac{1}{\sqrt{6} } \frac{k^3+3k^2+3k+1}{k^3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{k\to \infty}=\frac{1}{\sqrt{6} } \frac{k^3(1+3/k+3/k^2+1/k^3)}{k^3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{k\to \infty}=\frac{1}{\sqrt{6} } \end{eqnarray}$ das ergebnis ist kleiner 1 deshalb absolut konvergent
05.05.2013, 21:02	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichheitszeichen sind in diesem Fall völlig fehl am Platz, die gehören jeweils zwischen die Grenzwerte. Und du brauchst den Zähler auch nicht auszumultiplizieren. Fasse $\begin{eqnarray} \frac{(k+1)^3}{k^3}=\left(\frac{k+1}k\right)^3 \end{eqnarray}$ zusammen und nutze die Stetigkeit der dritten Potenz. Die Schlussfolgerung, dass die Reihe absolut konvergiert, stimmt aber.
05.05.2013, 21:06	kimi...	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{k\to \infty}\frac{1}{\sqrt{6} } (\frac{k(1+1/k)}{k})^3=\frac{1}{\sqrt{6} } \end{eqnarray}$
05.05.2013, 21:07	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das sieht schon besser aus.
05.05.2013, 21:09	kimi...	Auf diesen Beitrag antworten »
und da das kleiner als 1 ist deutet das auf absolute konvergenz hin oder?
05.05.2013, 21:14	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, nach dem Wurzelkriterium.
05.05.2013, 21:20	kimi...	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank für deine hilfe

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