Tangentialebene

05.05.2013, 20:16

Baby11

Tangentialebene

Hallo leute leider habe ich bei dieser Aufgabe keine Ansätze:

Bestimmen sie die Koordinaten des Flächenpunkte s

P ( x_0 / y_0 / z_0 ) und die Gleichung der Tangentialebene in P für:

a) $\begin{eqnarray*} z = (x^2 +y^2 ) *e^{-x} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} y_0 = 1 \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich hier vor leute `?

06.05.2013, 08:31

Dopap

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das wäre dann die Taylor-entwicklung ersten Grades.

mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=(x^2+y^2)e^{-x} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} T_1(x,y)=f(0,1)+\nabla \left( f(0,1)\right)\cdot \binom {x}{y-1} \end{eqnarray*}$

06.05.2013, 10:09

Baby11

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Ich poste mal zuerst einmal meine Ableitungen :

$\begin{eqnarray*} z_x = 2x*e^{-x}-e^{-x}*(x^2 +y^2 ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_xx = 2*e^{-x}+e^{-x}*(x^2 +y^2 ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_y = 2y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_yy = 2 \end{eqnarray*}$

Stimmen die Ableitutungen ?

KAnn es sein das das die Taylor formel 2 ter ordnung ist?

Was mache ich denn bei diesem schritt genau:

f(0,1) ?

06.05.2013, 18:11

Dopap

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die ersten partiellen Ableitungen :

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial f}{\partial x}=f_x =z_x=(-x^2+2x-y^2)e^{-x} \end{eqnarray*}$ ist richtig

$\begin{eqnarray*} \frac {\partial f}{\partial y}=f_y=z_y=2ye^{-x} \end{eqnarray*}$ war falsch.

demnach $\begin{eqnarray*} \nabla f(x,y)=\nabla z(x,y)= \binom {(-x^2+2x-y^2)e^{-x}}{2ye^{-x}} \end{eqnarray*}$

nach Formel ist diese Vektor an der "Stelle" (0,1) auszuwerten, sprich x=0. y=1
Anschliessend ist noch das Skalarprodukt mit dem Vektor $\begin{eqnarray*} (x,y-1)^T \end{eqnarray*}$ zu bilden.

zusätzlich noch $\begin{eqnarray*} f(0,1)=z(0,1)=(0^2+1^2)e^0 \end{eqnarray*}$ zu addieren.
--------------------------------------------------------------------
weitere Ableitungen würden zu $\begin{eqnarray*} T_2(x,y) \end{eqnarray*}$ führen.

07.05.2013, 01:06

Baby11

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Ist die partielle Ableitung nach y:

dz/dy = 2y*e^{-x}

Stimmt jetzt die Ableitung?

07.05.2013, 01:13

Dopap

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ja, ist richtig, steht aber so schon im obigen Gradienten.

07.05.2013, 01:35

Baby11

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Wäre die Formel soweit richtig?

07.05.2013, 01:43

Dopap

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ich denke, das ist richtig !

Kannst du nicht mit Latex schreiben?:

code:
1:	[latex]T_1(x,y)=-1+\binom {-1}{2} \cdot \binom {x}{y-1}[/latex]

$\begin{eqnarray*} T_1(x,y)=-1+\binom {-1}{2} \cdot \binom {x}{y-1} \end{eqnarray*}$

07.05.2013, 01:47

Baby11

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Das ergebnis wäre dann :

-1 -x+2y - 2 = -3 -x +2y

Stimmt das ergebnis?

07.05.2013, 01:58

Dopap

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Zitat:

Original von Baby11
Das ergebnis wäre dann :

-1 -x+2y - 2 = -3 -x +2y

Stimmt das ergebnis?

warum eine Gleichung ? Ich kann ja nicht riechen, dass das eine Umwandlung ist. Es geht um eine Funktion, bitte auch dann hinschreiben:

$\begin{eqnarray*} T_1(x,y)= -1 -x+2y-2= -3-x+2y \end{eqnarray*}$ , natürlich richtig Freude

so ist das eine verständliche Kette von Gleichheitszeichen.

------------------------

mit Titel: "Tangentialebene" wäre das zum Suchen besser aufgehoben.

07.05.2013, 10:48

Baby11

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Aber muss ich da nicht irgendwie auch die Koordinaten punkte berechnen von s noch?

Die Aufgabenstellung ist ein wenig verwiirend.

07.05.2013, 13:13

mYthos

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Setze für x = 0 und für y = 1 in die Funktionsgleichung ein, dann erhältst du z.

Und die Tangentialebene hat sehr wohl eine Gleichung (!)
Und da sie - wie auch die gegebene Funktion - 3-dimensional ist, muss darin auch die Variable z aufscheinen, denn auch der Gradientenvektor ist 3-dimensional
[in dem gegebenen Punkt lautet er (-1; 2; -1) [Edit: Fehler korrigiert] ]
Damit (--> Normalvektor) und mit den Koordinaten des Punktes ist dann die Tangentialebene zu bestimmen.

mY+

08.05.2013, 01:18

Dopap

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ja, da ist noch $\begin{eqnarray*} f(0,1)=1 \end{eqnarray*}$ zu korrigieren. ( nicht -1)

Ich hoffe du kommst jetzt klar !

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