Basen endlich erzeugter Vektorräume

06.05.2013, 05:53	zwiewi	Auf diesen Beitrag antworten »
Basen endlich erzeugter Vektorräume Hallo, ich komme mit einem Teil der Proposition für die Existenz von Basen endlich erzeugter Vektorräume nicht klar und bräuchte dabei Hilfe. Sei V ein K-Vektorraum, $\begin{eqnarray} V \neq{0} \end{eqnarray}$ , und seien $\begin{eqnarray} v_{1},...v_{n} \in V \end{eqnarray}$ . Dann gilt: Ist $\begin{eqnarray} v_{1},...v_{n} \end{eqnarray}$ ein Erzeugendensystem von V, und ist $\begin{eqnarray} v_{i} \in <v_{1},...v_{i-1},v_{i+1},...,v_{n}> \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} v_{1},...v_{i-1},v_{i+1},...,v_{n} \end{eqnarray}$ ein Erzeugendensystem von V. (<...> ist bei uns die Schreibweise für die Lineare Hülle) Ich verstehe schlicht und einfach nicht, was hiermit $\begin{eqnarray} v_{i} \in <v_{1},...v_{i-1},v_{i+1},...,v_{n}> \end{eqnarray}$ , gemeint ist. In einer anderen Bemerkung steht folgendes: ... $\begin{eqnarray} v _{n+1} \neq\in <v_{1},...,v_{v}> \end{eqnarray}$ Ist das nicht "selbstverständlich", denn $\begin{eqnarray} v_{n} \end{eqnarray}$ ist ja eh der letzte Vektor? Kann mir das jemand in ganz einfachen Worten erklären? Danke schon mal und Grüße zwiewi
06.05.2013, 06:24	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute, du hast den Unterschied zwischen $\begin{eqnarray} \{ v_1, \ldots, v_n \} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left \langle v_1, \ldots, v_n \right \rangle \end{eqnarray}$ nicht verstanden. Beim ersten handelt es sich um eine Menge mit $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Elementen, nämlich genau den aufgeführten Vektoren, beim zweiten dagegen um das Erzeugnis (auch: die lineare Hülle) dieser Elemente: $\begin{eqnarray} \left \langle v_1, \ldots, v_n \right \rangle = \left \{ \, \lambda_1 v_1 + \ldots + \lambda_n v_n \, \left\| \ \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K \, \right. \right\} \end{eqnarray}$ Hierbei ist $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ der dem Vektorraum zugrunde liegende Skalarkörper. Beispiel: $\begin{eqnarray} K = \mathbb{R}, \, V = \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ (Standardvektorraum) $\begin{eqnarray} v_1 = (1,-1,3) \, , \ v_2 = (-2,3,1) \end{eqnarray}$ Geometrisch ist $\begin{eqnarray} E = \left \langle v_1,v_2 \right \rangle \end{eqnarray}$ die von den Vektoren $\begin{eqnarray} v_1,v_2 \end{eqnarray}$ als Richtungsvektoren aufgespannte Ursprungsebene. Wenn man jetzt noch den Vektor $\begin{eqnarray} v_3 = 2v_1 - v_2 = (4,-5,5) \end{eqnarray}$ hinzunimmt, bekommt man nicht mehr, da bereits $\begin{eqnarray} v_3 \in E \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \left \langle v_1,v_2,v_3 \right \rangle = \left \langle v_1,v_2 \right \rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v_1,v_2 \end{eqnarray}$ sind linear unabhängig, $\begin{eqnarray} v_1,v_2,v_3 \end{eqnarray}$ sind linear abhängig. Die Abhängigkeit wird ja gerade durch die obige Definition von $\begin{eqnarray} v_3 \end{eqnarray}$ ausgedrückt.
06.05.2013, 14:03	zwiewi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, vielen Dank für die schnelle Antwortzeit. Hab's leider jetzt erst lesen können. Ich denke, ich hab's verstanden, aber um sicherzugehen: Wenn $\begin{eqnarray} \left<v_{1}, v_{2}\right>=\left<v_{1}, v_{2}, v_{3}\right> \end{eqnarray}$ , dann entspricht das doch $\begin{eqnarray} v_{3} \in \left<v_{1}, v_{2}\right> \end{eqnarray}$ , oder etwa nicht?
07.05.2013, 06:38	zwiewi	Auf diesen Beitrag antworten »
Es hat zwar ein bisschen gedauert, aber nun hab ich's verstanden Danke noch mal.

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